已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;(2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3. (1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值; (2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围. |
答案
(1)∵f(x)=xlnx, ∴f"(x)=lnx+1,…(1分) 当x∈(0,),f′(x)<0,f(x)单调递减, 当x∈(,+∞),f′(x)>0,f(x)单调递增,…(3分) ①0<t<t+2<,没有最小值; …(4分) ②0<t<<t+2,即0<t<时,f(x)min=f()=-;…(5分) ③≤t<t+2,即t≥时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt…(6分) 所以f(x)min=…(7分) (2)2xlnx≥-x2+ax-3,则a≤2lnx+x+,…(9分) 设h(x)=2lnx+x+(x>0), 则h′(x)=,…(10分) ①x∈(0,1),h"(x)<0,h(x)单调递减, ②x∈(1,+∞),h"(x)>0,h(x)单调递增, 所以h(x)min=h(1)=4, 对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立, ∵g(x)=-x2+ax-3.所以a≤h(x)min=4;…(13分) |
举一反三
设函数f(x)(x∈R)是以3为周期的奇函数,且f(1)>1,f(2)=a,则a的范围为______. |
函数f(x)是定义在实数集R上的奇函数,且f(x)=-f(x+2),当0≤x≤2时,f(x)=,若已知n∈Z,则使f(x)=-成立的x的值为( ) |
已知函数f(x)=x2-cosx,则f(-0.5),f(0),f(0.6)的大小关系是( )A.f(0)<f(-0.5)<f(0.6) | B.f(-0.5)<f(0.6)<f(0) | C.f(0)<f(0.6)<f(-0.5) | D.f(-0.5)<f(0)<f(0.6) |
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已知函数f(x)=x2+,若f(-2)=3,则不等式f(x2-3x)≥3的解集为______. |
已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log(x+1),则f(-2001)+f(2012)( )A.1+log23 | B.-1+log23 | C.-1 | D.1 |
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