(本题14分) (Ⅰ) SnSn+2-S2n+1=m(Sn+Sn+2-2Sn+1), ∵[lg(Sn-m)+lg(Sn+2-m)]=2lg(Sn+1-m), ∴b2=,b3=,b4=.…(4分) (Ⅱ)∵bn+1-1=-1, ∴==-1+,…(5分) ∴数列{cn}是以-4为首项,-1为公差的等差数列. ∴cn=-4+(n-1)•(-1)=-n-3.…(7分) (Ⅲ)由于cn==-n-3, 所以bn=, 从而an=1-bn=..…(8分) ∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1=++…=-= ∴4aSn-bn=-=(a-1)n2+(3a-6)n-8 | (n+3)(n+4) | …(10分) 由条件知(a-1)n2+(3a-6)n-8<0恒成立即可满足条件, 设f(n)=(a-1)n2+(3a-6)n-8, 当a=1时,f(n)=-3n-8<0恒成立 当a>1时,由二次函数的性质知不可能成立, 当a<1时,对称轴 n=-•=-(1-)<0, f(n)在(1,+∞)为单调递减函数. f(1)=(a-1)n2+(3a-6)n-8=(a-1)+(3a-6)-8=4a-15<0, ∴a<, ∴a<1时4aSn<bn恒成立 综上知:a≤1时,4aSn<bn恒成立…(14分) |