已知定义在R上函数f(x)=b-2xa+2x+1是奇函数.(1)对于任意t∈R不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.(2)若对于任
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已知定义在R上函数f(x)=b-2xa+2x+1是奇函数.(1)对于任意t∈R不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.(2)若对于任
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知定义在R上函数
f(x)=
b-
2
x
a+
2
x+1
是奇函数.
(1)对于任意t∈R不等式f(t
2
-2t)+f(2t
2
-k)<0恒成立,求k的取值范围.
(2)若对于任意实数,m,x,
f(x)<
m
2
+2tm+t+
5
2
恒成立,求t的取值范围.
(3)若g(x)是定义在R上周期为2的奇函数,且当x∈(-1,1)时,g(x)=f(x)-x,求g(x)=0的所有解.
答案
(1)∵f(x)为奇函数,即f(0)=0
∴b=1,
且f(-x)+f(x)=0
∴a=2
∴
f(x)=
1-
2
x
2
x+1
+2
=
1
2
x
+1
-
1
2
(2分)
易证f(x)在R上单调递减(3分)
由f(t
2
-2t)<f(k-2t
2
)得t
2
-2t>k-2t
2
即k<3t
2
-2t恒成立
又
3
t
2
-2t=3(t-
1
3
)
2
-
1
3
≥-
1
3
∴
k<-
1
3
(5分)
(2)由
f(x)=
1
2
x
+1
-
1
2
单调递减可知
f(x)∈(-
1
2
,
1
2
)
又
f(x)<
m
2
+2mt+t+
5
2
恒成立
∴只需
1
2
≤
m
2
+2mt+t+
5
2
(7分)
即m
2
+2mt+t+2≥0(m∈R)恒成立
∴4t
2
-4(t+2)≤0
即t
2
-t-2≤0∴t∈[-1,2](9分)
(3)∵g(x)为奇函数g(-1)+g(1)=0
又g(x)的周期为2∴g(-1)=g(-1+2)=g(1)
∴g(-1)=g(1)=0(10分)
当x∈(-1,1)时
g(x)=f(x)-x=
1
2
x
+1
-
1
2
-x
为单调递减
∴g(0)=0(11分)
由g(x)的周期为2,∴所有解为x=n(n∈Z)(14分)
举一反三
函数f(x)的定义域为D={x|x≠0,x∈R},且满足对于任意的x
1
,x
2
∈D,有f(x
1
•x
2
)=f(x
1
)+f(x
2
).
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;
(3)当f(4)=1,f(x)在(0,+∞)上是增函数时,若f(x-1)<2,求x的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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对定义在实数集上的函数f(x),若存在实数x
0
,使得f(x
0
)=x
0
,那么称x
0
为函数f(x)的一个不动点.
(1)已知函数f(x)=ax
2
+bx-b(a≠0)有不动点1与-3,求a、b;
(2)若对于任意实数b,函数f(x)=ax
2
+bx-b (a≠0)总有两个相异的不动点,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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正数x、y满足
2
x
+
1
y
=1
,若x+2y>m
2
+2m恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.m≤-2或m≥4
B.m≤-4或m≥2
C.-2<m<4
D.-4<m<2
题型:单选题
难度:简单
|
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已知定义在R上的函数f(x)是奇函数,且满足f(x+2)+2f(-x)=0;给出下列结论:①f(2)=0②f(x+2)=2f(x)③f(x+4)=4f(x)④f(x+6)=6f(x)其中正确的结论的个数是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数
f(x)=(m+
1
m
)lnx+
1
x
-x
,(其中常数m>0)
(1)当m=2时,求f(x)的极大值;
(2)试讨论f(x)在区间(0,1)上的单调性;
(3)当m∈[3,+∞)时,曲线y=f(x)上总存在相异两点P(x
1
,f(x
1
))、Q(x
2
,f(x
2
)),使得曲线y=f(x)在点P、Q处的切线互相平行,求x
1
+x
2
的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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