(1)当m=2时,f(x)=lnx+-x f′(x)=--1=-(x>0) 令f"(x)<0,可得0<x<或x>2;令f"(x)>0,可得<x<2, ∴f(x)在(0, )和(2,+∞)上单调递减,在(, 2)单调递减 故f(x)极大=f(2)=ln2- (2)f′(x)=--1=-=-(x>0,m>0) ①当0<m<1时,则>1,故x∈(0,m)∪(, 1)时,f′(x)<0;x∈(m,)时,f"(x)>0 此时f(x)在(0,m),(, 1)上单调递减,在(m,)单调递增; ②当m=1时,则=1,故x∈(0,1),有f′(x)=-<0恒成立, 此时f(x)在(0,1)上单调递减; ③当m>1时,则0<<1, 故x∈(0, )∪(m,1)时,f"(x)<0;x∈(, m)时,f"(x)>0 此时f(x)在(0, ),(m,1)上单调递减,在(, m)单调递增 (3)由题意,可得f′(x1)=f′(x2)(x1,x2>0,且x1≠x2) 即 --1=--1⇒x1+x2=(m+)x1x2 ∵x1≠x2,由不等式性质可得x1x2<()2恒成立,又x1,x2,m>0 ∴x1+x2<(m+)()2⇒x1+x2>对m∈[3,+∞)恒成立 令g(m)=m+ (m≥3),则g′(m)=1-=>0对m∈[3,+∞)恒成立 ∴g(m)在[3,+∞)上单调递增,∴g(m)≥g(3)= 故≤= 从而“x1+x2>对m∈[3,+∞)恒成立”等价于“x1+x2>=” ∴x1+x2的取值范围为(, +∞) |