已知函数y=f(x)是奇函数,在(0,+∞)内是减函数,且f(x)<0,试问:F(x)=1f(x)在(-∞,0)内单调性如何?并证明之
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已知函数y=f(x)是奇函数,在(0,+∞)内是减函数,且f(x)<0,试问:F(x)=1f(x)在(-∞,0)内单调性如何?并证明之
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数y=f(x)是奇函数,在(0,+∞)内是减函数,且f(x)<0,试问:F(x)=
1
f(x)
在(-∞,0)内单调性如何?并证明之
答案
∴F(x)=
1
f(x)
在(-∞,0)上是增函数
证明:设x
1
<x
2
<0,则-x
1
>-x
2
>0
∵f(x)在(0,+∞)内是减函数且f(x)<0,
∴f(-x
1
)<f(-x
2
)<0
∵函数y=f(x)是奇函数
∴-f(x
1
)<-f(x
2
)<0即f(x
1
)>f(x
2
)>0
∴F(x
1
)-F(x
2
)=
1
f(
x
1
)
-
1
f(
x
2
)
=
f(
x
2
)-f(
x
1
)
f(
x
1
)f(
x
2
)
<0
∴F(x)=
1
f(x)
在(-∞,0)上是增函数
举一反三
(1)已知幂函数y=x
m-2
(x∈N)的图象与x,y轴都无交点,且关于y轴对称,求函数解析式.
(2)已知函数y=
4
15-2x-
x
2
.求函数的单调区间和奇偶性.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数f(x)在R上为奇函数,且当x>0时,
f(x)=
x
+1
,写出f(x)在R上的解析式,即f(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设偶函数f(x)=log
a
|x-b|在(-∞,0)上是增函数,则有( )
A.f(a+1)≥f(b+2)
B.f(a+1)<f(b+2)
C.f(a+1)≤f(b+2)
D.f(a+1)>f(b+2)
题型:单选题
难度:一般
|
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设a∈R,f(x)=a-
2
2
x
+1
(x∈R)为奇函数,则a=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=ax
3
+bx
2
+cx(a≠0,x∈R)为奇函数,且f(x)在x=1处取得极大值2.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)记
g(x)=
f(x)
x
+(k+1)lnx
,求函数y=g(x)的单调区间;
(3)在(2)的条件下,当k=2时,若函数y=g(x)的图象在直线y=x+m的下方,求m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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