已知函数f(x)是二次函数,不等式f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3},且f(x)在区间[-1,1]上的最小值是4.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)设g(x
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已知函数f(x)是二次函数,不等式f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3},且f(x)在区间[-1,1]上的最小值是4.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)设g(x
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)是二次函数,不等式f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3},且f(x)在区间[-1,1]上的最小值是4.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)设g(x)=x+5-f(x),若对任意的
x∈(-∞,-
3
4
]
,
g(
x
m
)-g(x-1)≤4[
m
2
g(x)+g(m)]
均成立,求实数m的取值范围.
答案
(Ⅰ)由f(x)≥0解集为{x|-2≤x≤3},可设f(x)=a(x+2)(x-3)=a(x
2
-x-6),且a<0
对称轴
x=
1
2
,开口向下,f(x)
min
=f(-1)=-4a=4,解得a=-1,f(x)=-x
2
+x+6;…(5分)
(Ⅱ)g(x)=x+5+x
2
-x-6=x
2
-1,
g(
x
m
)-g(x-1)≤4[
m
2
g(x)+g(m)]
恒成立
即
x
2
m
2
-1-(x-1
)
2
+1≤4[
m
2
(
x
2
-1)+
m
2
-1]
对
x∈(-∞,-
3
4
]
恒成立
化简
(
1
m
2
-4
m
2
)
x
2
≤
x
2
-2x-3
,即
1
m
2
-4
m
2
≤
-
3
x
2
-
2
x
+1
对
x∈(-∞,-
3
4
]
恒成立…(8分)
令
y=-
3
x
2
-
2
x
+1
,记
t=
1
x
∈[-
4
3
,0)
,则y=-3t
2
-2t+1,
二次函数开口向下,对称轴为
t
0
=-
1
3
,当
t=-
4
3
时
y
min
=-
5
3
,
故
1
m
2
-4
m
2
≤-
5
3
…(10分)
所以(3m
2
+1)(4m
2
-3)≥0,解得
m≤-
3
2
或
m≥
3
2
…(12分)
举一反三
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1
f(x)
在(-∞,0)内单调性如何?并证明之
题型:解答题
难度:一般
|
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(1)已知幂函数y=x
m-2
(x∈N)的图象与x,y轴都无交点,且关于y轴对称,求函数解析式.
(2)已知函数y=
4
15-2x-
x
2
.求函数的单调区间和奇偶性.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数f(x)在R上为奇函数,且当x>0时,
f(x)=
x
+1
,写出f(x)在R上的解析式,即f(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设偶函数f(x)=log
a
|x-b|在(-∞,0)上是增函数,则有( )
A.f(a+1)≥f(b+2)
B.f(a+1)<f(b+2)
C.f(a+1)≤f(b+2)
D.f(a+1)>f(b+2)
题型:单选题
难度:一般
|
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设a∈R,f(x)=a-
2
2
x
+1
(x∈R)为奇函数,则a=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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