函数y=f(x)是定义域为R的奇函数,且对任意的x∈R,都有f(x+4)=f(x)成立,当x∈(0,2]时,f(x)=-x2+1.(Ⅰ)当x∈[4k-2,4k+
题型:解答题难度:一般来源:不详
函数y=f(x)是定义域为R的奇函数,且对任意的x∈R,都有f(x+4)=f(x)成立,当x∈(0,2]时,f(x)=-x2+1. (Ⅰ)当x∈[4k-2,4k+2](k∈Z)时,求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)求不等式f(x)>-1的解集. |
答案
(Ⅰ)当x=0时,∵f(0)=-f(0),∴f(0)=0.…(1分) 当x∈[-2,0)时,-x∈(0,2),f(x)=-f(-x)=x2-1 …(3分) 由f(x+4)=f(x),知y=f(x)又是周期为4的函数,所以当x∈[4k-2,4k]时,x-4k∈[-2,0) ∴f(x)=f(x-4k)=(x-4k)2-1,…(5分) 当x∈(4k,4k+2]时x-4k∈(0,2],∴f(x)=f(x-4k)=-(x-4k)2+1 …(7分) 故当x∈[4k-2,4k+2](k∈Z)时,函数f(x)的解析式为 | (x-4k)2-1,x∈[4k-2,4k) | 0 x=4k,(k∈Z) | -(x-4k)2+1,x∈(4k,4k+2] |
| | …(9分) (Ⅱ)当x∈(-2,2]时,由f(x>-1),得,或,或x=0. 解之,得-2<x<,…(12分) ∵函数y=f(x)的周期为4,∴f(x)>-1的解集为{x|4k-2<x<4k+}(k∈Z)…(14分) |
举一反三
设函数f(x)=|x+2|+|x-a|的图象关于直线x=2对称,则a的值为______. |
已知函数f(x)=ln是奇函数, (1)求a的值; (2)求函数f(x)的定义域; (3)求证f(x)在定义域上是单调减函数. |
已知函数f(x)=lg (1)求f(x)的定义域; (2)证明f(x)是奇函数; (3)判断函数y=f(x)与y=2的图象是否有公共点,并说明理由. |
已知函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b (1)令F(x)=,当a、b、c满足什么条件时,F(x)为奇函数? (2)令G(x)=f(x)-g(x),若a>b>c,且f(1)=0 (Ⅰ)求证函数G(x)的图象与x轴必有两个交点A、B; (Ⅱ)求|AB|的取值范围. |
已知函数f(x)=loga,(a>0,且a≠1). (1)求函数的定义域,并证明:f(x)=loga在定义域上是奇函数; (2)对于x∈[2,4],f(x)=loga>loga恒成立,求m的取值范围. |
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