已知函数f(x)=x2-3kx+3k-log12m(k,m为常数).(1)当k和m为何值时,f(x)为经过点(1,0)的偶函数?(2)若不论k取什么实数,函数f
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已知函数f(x)=x2-3kx+3k-log12m(k,m为常数).(1)当k和m为何值时,f(x)为经过点(1,0)的偶函数?(2)若不论k取什么实数,函数f
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
x
2
-3kx+3k-lo
g
1
2
m(k,m为常数).
(1)当k和m为何值时,f(x)为经过点(1,0)的偶函数?
(2)若不论k取什么实数,函数f(x)恒有两个不同的零点,求实数m的取值范围.
答案
(1)因为函数f(x)为偶函数,
∴f(-x)=f(x)
∴
x
2
+3kx+3k-lo
g
1
2
m=
x
2
-3kx+3k-lo
g
1
2
m
由此得6kx=0总成立,故k=0.
∴
f(x)=
x
2
-lo
g
1
2
m
,又该函数过点(1,0),
∴
lo
g
1
2
m=1
,得m=
1
2
所以,当m=
1
2
,k=0时,f(x)为经过点(1,0)的偶函数.
(2)由函数f(x)恒有两个不同的零点知,
方程
x
2
-3kx+3k-lo
g
1
2
m=0
恒有两个不等实根
,故△=
9
k
2
-4(3k-lo
g
1
2
m)
>0恒成立,
即
4lo
g
1
2
m>-9
k
2
+12k
恒成立,
而-9k
2
+12k=
-9(k-
2
3
)
2
+4≤4
,
故只须
4lo
g
1
2
m>4
,即
lo
g
1
2
m>1
,解得0<m<
1
2
.
所以,当0<m<
1
2
时,函数f(x)恒有两个不同的零点.
举一反三
已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0,
f(x+2)=
1
f(x)
对任意x∈R恒成立,则f(2011)等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:单选题
难度:一般
|
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三次函数f(x)=x
3
-3bx+3b在[1,2]内恒为正值,则b的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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判断下列函数的奇偶性
(A)f(x)=
0(x为无理数)
1(x为有理数)
______;
(B)
f(x)=ln(
1+
x
2
-x)
______;
(C)
f(x)=
1+sinx-cosx
1+sinx+cosx
______;
(D)
f(x)=
x
a
x
-1
+
x
2
,(a>0,a≠0)______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知定义域为R的偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(
1
2
)=0,则不等式f(log
2
x)>0的解是______.
题型:填空题
难度:简单
|
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如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么它在[-7,-3]上的______(填“增”或“减”)函数,最______(填“大”或“小”)值为______.
题型:填空题
难度:简单
|
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