(1)f(x)=x3-2ax2+a2x 令f"(x)=3x2-4ax+a2=0, 得:x1=,x2=a.(2分) 1° 当a>0 时,x1<x2 ∴所求单调增区间是(-∞,),(a,+∞),单调减区间是(,a ) 2° 当a<0 时,所求单调增区间是(-∞,a),(,+∞),单调减区间是(a, ) 3° 当a=0 时,f"(x)=3x2≥0 所求单调增区间是(-∞,+∞).(5分) (2)f(x)=x3-(a+b)x2+abx∴f"(x)=3x2-2(a+b)x+ab, ∵当x∈[-1,1]时,恒有|f"(x)|≤∴-≤f′(1)≤,-≤f′(-1)≤,-≤f′(0)≤,(8分)即 | -≤3-2(a+b)+ab≤ | -≤3+2(a+b)+ab≤ | -≤ab≤ |
| | 得 此时,满足当x∈[-1,1]时|f′(x)|≤恒成立. ∴f(x)=x3-x.(10分) (3)存在a,b,使得•= 0,则m•n+f(m)•f(n)=0 ∴mn+mn(m-a)(m-b)(n-a)(n-b)=0由于0<a<b,知mn≠0 ∴(m-a)(m-b)(n-a)(n-b)=-1<BR>①由题设,m,n是f"(x)=0的两根 ∴m+n=,mn=②(12分)②代入①得:ab(a-b)2=9 ∴(a+b)2=(a-b)2+4ab=+4ab≥2=12,当且仅当ab=时取“=” ∴a+b≥2∵a+b≤2∴a+b=2 又∵ab=,0<a<b∴a=,b=.(16分) |