已知函数f(x)的定义域为(-2,2),f(x)≠0,且对任意实数a,b∈(-2,2)均满足f(a+b)+f(a-b)=2f(a)•f(b).(1)求f(0)的

已知函数f(x)的定义域为(-2,2),f(x)≠0,且对任意实数a,b∈(-2,2)均满足f(a+b)+f(a-b)=2f(a)•f(b).(1)求f(0)的

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)的定义域为(-2,2),f(x)≠0,且对任意实数a,b∈(-2,2)均满足f(a+b)+f(a-b)=2f(a)•f(b).
(1)求f(0)的值.
(2)判断f(x)的奇偶性并说明理由.
(3)当x∈(-2,0]时,f(x)为增函数,若f(1-m)<f(m)成立,求m的取值范围.
答案
(1)由题意知,当a=b=0时,f(0)+f(0)=2f2(0)
而f(0)≠0,∴f(0)=1
(2)令a=0,b=x∈(-2,2),则f(x)+f(-x)=2f(0)•f(x)
即f(x)+f(-x)=2f(x)
∴f(-x)=f(x)
∴f(x)为偶函数
(3)∵函数f(x)在(-2,2)上是偶函数,且当x∈(-2,0]时,f(x)为增函数
∴f(1-m)<f(m)⇔f(|1-m|)<f(|m|)





|1-m|>|m|
|1-m|<2
|m|<2
    
解得-1<m<
1
2
举一反三
函数f(x)=
1
x
-x
是(  )
A.偶函数B.既是奇函数又是偶函数
C.奇函数D.非奇非偶函数函数
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知f(x)是偶函数,则f(x+2)的图象关于______对称;已知f(x+2)是偶函数,则函数f(x)的图象关于______对称.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
存在实数x,使得x2-4bx+3b<0成立,则b的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数,f(x)=
bx+c
ax2+1
(a,c∈R,a>0,b是自然数)是奇函数,f(x)有最大值
1
2
,且.f(1)>
2
5

(1)求函数f(x)的解析式;
(2)是否存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点,并且使得P、Q两点关于点(1,0)对称,若存在,求出直线l的方程,若不存在,说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=lg(


3
-(


3
-1)tanx-tan2x).
(1)求函数f(x)的定义域.
(2)若β是两个模长为2的向量


a


b
的夹角,且不等式f(x)≤lg(1+sinβ)对于定义域内的任意实数x恒成立,求


a
 +


b
的取值范围.
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