对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称点（x0，f（x0））为函数f（x）的不动点．（1）若函数f（x）=ax2+bx-2b（a≠0）有
题型：解答题难度：一般来源：不详
对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称点（x0，f（x0））为函数f（x）的不动点．
（1）若函数f（x）=ax2+bx-2b（a≠0）有不动点（0，0）和（1，1），求f（x）的解析表达式；
（2）若对于任意实数b，函数f（x）=ax2+bx-2b总有2个相异的不动点，求实数a的取值范围；
（3）若定义在R上的函数g（x）满足g（-x）=-g（x），且g（x）存在（有限的）n个不动点，求证：n必为奇数． |
答案
（1）由题意 ，即，
解得．∴f（x）=x2
（2）函数f（x）=ax2+bx-2b总有两个相异的不动点，
即关于x的方程f（x）=x有两个不等根．
化简f（x）=x得到ax2+（b-1）x-2b=0．
所以（b-1）2+8ab＞0，即b2+（8a-2）b+1＞0．
由题意，该关于b的不等式恒成立，
所以（8a-2）2-4＜0．解之得：0＜a＜．
（3）（x，x）与（-x，-x）是成对出现，故是偶数，（0，0）在图形上，所以，n必是奇数． |
举一反三
（1）已知f （x+1）=x2+4x+1，求f （x）；
（2）已知f （x-）=x2++1，求f （x）；
（3）设f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，并且f（x）-g（x）=x2-x，求f（x）． |
| 函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（-∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2），则实数a的取值范围是 ______． |
已知 y=f （ x ） 是定义在R 上的偶函数，且在（ 0，+∞）上是减函数，如果x1＜0，x2＞0，且|x1|＜|x2|，则有（ ）| A．f（-x1）+f（-x2）＞0 | B．f（x1）+f（x2）＜0 | | C．f（-x1）-f（-x2）＞0 | D．f（x1）-f（x2）＜0 |
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定义在区间（-∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间[0，+∞）上的图象与f（x）的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式①f（b）-f（-a）＞g（a）-g（-b）；②f（b）-f（-a）＜g（a）-g（-b）；③f（a）-f（-b）＞g（b）-g（-a）；④f（a）-f（-b）＜g（b）-g（-a）．
其中正确不等式的序号是______． |
| 设函数f（x）=x（ex+ae-x），x∈R是奇函数，则实数a=（ ） |
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