已知函数f(x)=x3+1x,判断f(x)的奇偶性并且证明.
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已知函数f(x)=x3+1x,判断f(x)的奇偶性并且证明.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
x
3
+
1
x
,判断f(x)的奇偶性并且证明.
答案
f(x)是奇函数
证明:f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),定义域关于原点对称
在f(x)的定义域内任取一个x,则有
f(-x)=(-x
)
3
+
1
(-x)
3
=-(
x
3
+
1
x
3
)=-f(x)
所以,f(x)是奇函数
举一反三
对于函数f(x),若存在x
0
∈R,使f(x
0
)=x
0
成立,则称点(x
0
,f(x
0
))为函数f(x)的不动点.
(1)若函数f(x)=ax
2
+bx-2b(a≠0)有不动点(0,0)和(1,1),求f(x)的解析表达式;
(2)若对于任意实数b,函数f(x)=ax
2
+bx-2b总有2个相异的不动点,求实数a的取值范围;
(3)若定义在R上的函数g(x)满足g(-x)=-g(x),且g(x)存在(有限的)n个不动点,求证:n必为奇数.
题型:解答题
难度:一般
|
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(1)已知f (x+1)=x
2
+4x+1,求f (x);
(2)已知f (
x-
1
x
)=
x
2
+
1
x
2
+1,求f (x);
(3)设f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,并且f(x)-g(x)=x
2
-x,求f(x).
题型:解答题
难度:一般
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函数y=f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,若f(a)≤f(2),则实数a的取值范围是 ______.
题型:填空题
难度:一般
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已知 y=f ( x ) 是定义在R 上的偶函数,且在( 0,+∞)上是减函数,如果x
1
<0,x
2
>0,且|x
1
|<|x
2
|,则有( )
A.f(-x
1
)+f(-x
2
)>0
B.f(x
1
)+f(x
2
)<0
C.f(-x
1
)-f(-x
2
)>0
D.f(x
1
)-f(x
2
)<0
题型:单选题
难度:一般
|
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定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间[0,+∞)上的图象与f(x)的图象重合,设a>b>0,给出下列不等式①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).
其中正确不等式的序号是______.
题型:填空题
难度:简单
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