定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)=f(x-2k)(k∈Z),且当x∈(0,1)时,f(x)=2x4x+1.(Ⅰ)求f(x)在[-1,1]上的解析式;(Ⅱ)
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定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)=f(x-2k)(k∈Z),且当x∈(0,1)时,f(x)=2x4x+1.(Ⅰ)求f(x)在[-1,1]上的解析式;(Ⅱ)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)=f(x-2k)(k∈Z),且当x∈(0,1)时,
f(x)=
2
x
4
x
+1
.
(Ⅰ)求f(x)在[-1,1]上的解析式;
(Ⅱ)当m取何值时,方程f(x)=m在(0,1)上有解?
答案
(Ⅰ)当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1),
由f(x)为R上的奇函数,得
f(-x)=-f(x)=
2
-x
4
-x
+1
=
2
x
4
x
+1
,
此时f(x)=-
2
x
4
x
+1
(4分)
又f(0)=-f(0),f(0)=0,
∵f(-1)=-f(1),f(-1)=f(1-2)=f(1),
∴f(-1)=0,f(1)=0,(7分)
∴
f(x)=
-
2
x
4
x
+1
,x∈(-1,0)
0,x=0,±1
2
x
4
x
+1
,x∈(0,1)
(8分)
(Ⅱ)∵x∈(0,1)
∴
m=
2
x
4
x
+1
=
1
2
x
+
1
2
x
,(11分)
2
x
∈(1,2),
∴
2
x
+
1
2
x
∈(2,
5
2
)
,
即
m∈(
2
5
,
1
2
)
. (14分)
举一反三
已知函数
f(x)=
log
a
1+x
1-x
(a>0且a≠1)
(1)f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知奇函数f(x)=2
x
+a•2
-x
,x∈(-1,1)
(1)求实数a的值;
(2)判断f(x)在(-1,1)上的单调性并进行证明;
(3)若函数f(x)满足f(1-m)+f(1-2m)<0,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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若对于任意实数x,都有f(-x)=f(x),且f(x)在(-∞,0]上是增函数,则( )
A.f(-
3
2
)<f(-1)<f(2)
B.f(-1)<f(-
3
2
)<f(2)
C.f(2)<f(-1)<f(-
3
2
)
D.f(2)<f(-
3
2
)<f(-1)
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x)<0恒成立.
证明:
(1)函数y=f(x)是R上的减函数;
(2)函数y=f(x)是奇函数.
题型:解答题
难度:一般
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已知函数
f(x)=
2
x
-1
2
x
+1
,
(1)判断函数f(x)的奇偶性,并给予证明;
(2)求证:方程f(x)-lnx=0至少有一根在区间(1,3).
题型:解答题
难度:一般
|
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