已知函数f(x)=2x-12x+1，（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给予证明；（2）求证：方程f（x）-lnx=0至少有一根在区间（1，3）．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

2x-1

2x+1

，
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给予证明；
（2）求证：方程f（x）-lnx=0至少有一根在区间（1，3）．

答案

证明：（1）函数f（x）的定义域为R，且f(x)=

2x-1

2x+1

，则f(-x)=

2-x-1

2-x+1

1-2x

2x+1

所以f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数．（6分）
（2）令g(x)=f(x)-lnx=

2x-1

2x+1

-lnx，则函数y=g（x）在（1，3）连续．
因为g(1)=

21-1

21+1

-ln1=

＞0，g(3)=

23-1

23+1

-ln3=

-ln3＜0，
所以，方程f（x）-lnx=0至少有一根在区间（1，3）上．（12分）

举一反三

设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则f（-2），f（3），f（-π）的大小顺序是（　　）

A．f（-π）＞f（3）＞f（-2）

B．f（-π）＞f（-2）＞f（3）

C．f（-2）＞f（3）＞f（-π）

D．f（3）＞f（-2）＞f（-π）

题型：单选题难度：一般| 查看答案

设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（-3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

已知函数f(x)=x3+

，判断f（x）的奇偶性并且证明．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称点（x₀，f（x₀））为函数f（x）的不动点．
（1）若函数f（x）=ax²+bx-2b（a≠0）有不动点（0，0）和（1，1），求f（x）的解析表达式；
（2）若对于任意实数b，函数f（x）=ax²+bx-2b总有2个相异的不动点，求实数a的取值范围；
（3）若定义在R上的函数g（x）满足g（-x）=-g（x），且g（x）存在（有限的）n个不动点，求证：n必为奇数．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

（1）已知f （x+1）=x²+4x+1，求f （x）；
（2）已知f （x-

）=x2+

+1，求f （x）；
（3）设f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，并且f（x）-g（x）=x²-x，求f（x）．

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