已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0恒成立．证明：（1）函数y=f（x）是R上
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0恒成立．
证明：
（1）函数y=f（x）是R上的减函数；
（2）函数y=f（x）是奇函数． |
答案
证明：（1）设x1＞x2，则x1-x2＞0，∴f（x1-x2）＜0，
而f（a+b）=f（a）+f（b），
∴f（x1）=f（x1-x2+x2）=f（x1-x2）+f（x2）＜f（x2）
∴函数y=f（x）是R上的减函数；
（2）由f（a+b）=f（a）+f（b）得f（x-x）=f（x）+f（-x）
即f（x）+f（-x）=f（0），而令a=b=0可得f（0）=0
∴f（-x）=-f（x），即函数y=f（x）是奇函数 |
举一反三
已知函数f(x)=，
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给予证明；
（2）求证：方程f（x）-lnx=0至少有一根在区间（1，3）． |
设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则f（-2），f（3），f（-π）的大小顺序是（ ）| A．f（-π）＞f（3）＞f（-2） | B．f（-π）＞f（-2）＞f（3） | C．f（-2）＞f（3）＞f（-π） | D．f（3）＞f（-2）＞f（-π） |
|
| 设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（-3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是______． |
| 已知函数f(x)=x3+，判断f（x）的奇偶性并且证明． |
对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称点（x0，f（x0））为函数f（x）的不动点．
（1）若函数f（x）=ax2+bx-2b（a≠0）有不动点（0，0）和（1，1），求f（x）的解析表达式；
（2）若对于任意实数b，函数f（x）=ax2+bx-2b总有2个相异的不动点，求实数a的取值范围；
（3）若定义在R上的函数g（x）满足g（-x）=-g（x），且g（x）存在（有限的）n个不动点，求证：n必为奇数． |
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