已知奇函数f（x）=2x+a•2-x，x∈（-1，1）（1）求实数a的值；（2）判断f（x）在（-1，1）上的单调性并进行证明；（3）若函数f（x）满足f（1-
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知奇函数f（x）=2x+a•2-x，x∈（-1，1）
（1）求实数a的值；
（2）判断f（x）在（-1，1）上的单调性并进行证明；
（3）若函数f（x）满足f（1-m）+f（1-2m）＜0，求实数m的取值范围． |
答案
（1）∵函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，1+a=0，∴a=-1．
（2）证明：由（1）可知，f（x）=2x-．
任取-1＜x1＜x2＜1，则
| | f(x1)-f(x2)=(2x1-)-(2x2-)=(2x1-2x2)-(-) | | =(2x1-2x2)+()=(2x1-2x2)(1+) | | ∵-1＜x1＜x2＜1，2x1+x2＞0 | | ∴f(x1)-f(x2)＜0，得f(x1)＜f(x2) |
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所以，f（x）在（-1，1）上单调递增．
（3）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x）．
由已知f（x）在（-1，1）上是奇函数，
∴f（1-m）+f（1-2m）＜0可化为f（1-m）＜-f（1-2m）=f（2m-1），
又由（2）知f（x）在（-1，1）上单调递增，
∴-1＜1-m＜2m-1＜1，解得＜m＜1． |
举一反三
若对于任意实数x，都有f（-x）=f（x），且f（x）在（-∞，0]上是增函数，则（ ）| A．f（-）＜f（-1）＜f（2） | B．f（-1）＜f（-）＜f（2） | | C．f（2）＜f（-1）＜f（-） | D．f（2）＜f（-）＜f（-1） |
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已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0恒成立．
证明：
（1）函数y=f（x）是R上的减函数；
（2）函数y=f（x）是奇函数． |
已知函数f(x)=，
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给予证明；
（2）求证：方程f（x）-lnx=0至少有一根在区间（1，3）． |
设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则f（-2），f（3），f（-π）的大小顺序是（ ）| A．f（-π）＞f（3）＞f（-2） | B．f（-π）＞f（-2）＞f（3） | C．f（-2）＞f（3）＞f（-π） | D．f（3）＞f（-2）＞f（-π） |
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| 设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（-3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是______． |
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