已知奇函数f(x)=2x+a•2-x,x∈(-1,1)(1)求实数a的值;(2)判断f(x)在(-1,1)上的单调性并进行证明;(3)若函数f(x)满足f(1-

已知奇函数f(x)=2x+a•2-x,x∈(-1,1)(1)求实数a的值;(2)判断f(x)在(-1,1)上的单调性并进行证明;(3)若函数f(x)满足f(1-

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知奇函数f(x)=2x+a•2-x,x∈(-1,1)
(1)求实数a的值;
(2)判断f(x)在(-1,1)上的单调性并进行证明;
(3)若函数f(x)满足f(1-m)+f(1-2m)<0,求实数m的取值范围.
答案
(1)∵函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,∴f(0)=0,1+a=0,∴a=-1.
(2)证明:由(1)可知,f(x)=2x-
1
2x

任取-1<x1<x2<1,则
f(x1)-f(x2)=(2x1-
1
2x1
)-(2x2-
1
2x2
)=(2x1-2x2)-(
1
2x1
-
1
2x2
)
=(2x1-2x2)+(
2x1-2x2
2x1+x2
)=(2x1-2x2)(1+
1
2x1+x2
)
∵-1<x1x2<1,2x1+x2>0
∴f(x1)-f(x2)<0,得f(x1)<f(x2)

所以,f(x)在(-1,1)上单调递增.
(3)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).
由已知f(x)在(-1,1)上是奇函数,
∴f(1-m)+f(1-2m)<0可化为f(1-m)<-f(1-2m)=f(2m-1),
又由(2)知f(x)在(-1,1)上单调递增,
-1<1-m<2m-1<1,解得
2
3
<m<1
举一反三
若对于任意实数x,都有f(-x)=f(x),且f(x)在(-∞,0]上是增函数,则(  )
A.f(-
3
2
)<f(-1)<f(2)
B.f(-1)<f(-
3
2
)<f(2)
C.f(2)<f(-1)<f(-
3
2
D.f(2)<f(-
3
2
)<f(-1)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x)<0恒成立.
证明:
(1)函数y=f(x)是R上的减函数;
(2)函数y=f(x)是奇函数.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
2x-1
2x+1

(1)判断函数f(x)的奇偶性,并给予证明;
(2)求证:方程f(x)-lnx=0至少有一根在区间(1,3).
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则f(-2),f(3),f(-π)的大小顺序是(  )
A.f(-π)>f(3)>f(-2)B.f(-π)>f(-2)>f(3)C.f(-2)>f(3)>f(-π)D.f(3)>f(-2)>f(-π)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数.当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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