已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=-(x-1)2+1,满足f[f(a)]=12的实数a的个数为( )A.2B.4C.6D.8
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已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=-(x-1)2+1,满足f[f(a)]=12的实数a的个数为( )A.2B.4C.6D.8
题型:单选题
难度:简单
来源:荆州模拟
已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=-(x-1)
2
+1,满足f[f(a)]=
1
2
的实数a的个数为( )
A.2
B.4
C.6
D.8
答案
令f(a)=x,则f[f(a)]=
1
2
变形为f(x)=
1
2
;
当x≥0时,f(x)=-(x-1)
2
+1=
1
2
,解得x
1
=1+
2
2
,x
2
=1-
2
2
;
∵f(x)为偶函数,
∴当x<0时,f(x)=
1
2
的解为x
3
=-1-
2
2
,x
4
=-1+
2
2
;
综上所述,f(a)=1+
2
2
,1-
2
2
,-1-
2
2
,-1+
2
2
;
当a≥0时,
f(a)=-(a-1)
2
+1=1+
2
2
,方程无解;
f(a)=-(a-1)
2
+1=1-
2
2
,方程有2解;
f(a)=-(a-1)
2
+1=-1-
2
2
,方程有1解;
f(a)=-(a-1)
2
+1=-1+
2
2
,方程有1解;
故当a≥0时,方程f(a)=x有4解,由偶函数的性质,易得当a<0时,方程f(a)=x也有4解,
综上所述,满足f[f(a)]=
1
2
的实数a的个数为8,
故选D.
举一反三
定义在R上的偶函数f(x),当x∈[1,2]时,f(x)<0且f(x)为增函数,给出下列四个结论:①f(x)在[-2,-1]上单调递增;②当x∈[-2,-1]时,有f(x)<0;③f(-x)在[-2,-1]上单调递减;④|f(x)|在[-2,-1]上单调递减.其中正确的结论是( )
A.①③
B.②③
C.②④
D.③④
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数f(x)满足
f(x+1)=
1
f(x)
,且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设f(x)=
lo
g
1
2
1-ax
x-1
为奇函数,a为常数.
(1)求a的值;并判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性;
(2)若对于区间(3,4)上的每一个x的值,不等式f(x)>
(
1
2
)
x
+m
恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)是以2为周期的偶函数,且当x∈(0,1)时,f(x)=2
x
-1,则f(log
2
10)的值( )
A.
3
5
B.
8
5
C.
-
5
8
D.
-
5
3
题型:单选题
难度:一般
|
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设函数
f(x)=
2
x
-(
1
2
)
x
,判断f(x)的奇偶性,并利用奇偶性的定义给予证明.
题型:解答题
难度:一般
|
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