已知函数f(x)=x+b1+x2为奇函数.(I)证明:函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数;(II)解关于x的不等式f(1+2x2)+f(-x2+2x-4)
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已知函数f(x)=x+b1+x2为奇函数.(I)证明:函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数;(II)解关于x的不等式f(1+2x2)+f(-x2+2x-4)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
x+b
1+
x
2
为奇函数.
(I)证明:函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数;
(II)解关于x的不等式f(1+2x
2
)+f(-x
2
+2x-4)>0.
答案
(I)∵函数
f(x)=
x+b
1+
x
2
为定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0,即b=0,
∴函数解析式为:
f(x)=
x
x
2
+1
.
∴对f(x)求导数,得
f′(x)=
(
x
2
+1)-x•2x
(
x
2
+1)
2
=
1-
x
2
(
x
2
+1)
2
.
∵当x>1时,
f′(x)=
1-
x
2
(
x
2
+1)
2
<0成立,
∴函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数.
(II)由f(1+2x
2
)+f(-x
2
+2x-4)>0,得f(1+2x
2
)>-f(-x
2
+2x-4).
∵f(x)是奇函数,
∴-f(-x
2
+2x-4)=f(x
2
-2x+4).
原不等式化为:f(1+2x
2
)>f(x
2
-2x+4).
又∵1+2x
2
≥1,x
2
-2x+4=(x-1)
2
+3>1,且f(x)在[1,+∞)上为减函数,
∴1+2x
2
<x
2
-2x+4,即x
2
+2x-3<0,
解之得-3<x<1.
∴不等式f(1+2x
2
)+f(-x
2
+2x-4)>0的解集是{x|-3<x<1}
举一反三
若不等式
3
x
2
-2ax
>
(
1
3
)
x+1
对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设函数f(x)=ka
x
-a
-x
(a>0且a≠1)是奇函数,
(1)求k的值;
(2)若f(1)>0,试求不等式f(x
2
+2x)+f(x-4)>0的解集;
(3)若
f(1)=
3
2
,且g(x)=a
2x
+a
-2x
-2mf(x)在[1,+∞)上的最小值为-2,求m的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=x
2
+(3m+1)x+3m(m>0)的图象与x轴交于不同的两点A,B且|AB|=2.
(1)求实数m的值;
(2)设g(x)=f(x)-λx,x∈[0,+∞),若g(x)图象上的点都在直线y=1上方,求λ的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知定义在R上的偶函数f (x)在[0,+∞]上是增函数,则使不等式f (2x-1)≤f (x-2)成立的实数x的取值范围是( )
A.[-1,1]
B.(-∞,1)
C.[0,1]
D.[-1,+∞)
题型:单选题
难度:简单
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已知函数f(x)=
ln
e
x
-
e
-x
2
,则f(x)是( )
A.非奇非偶函数,且在(0,+∝)上单调递增
B.奇函数,且在R上单调递增
C.非奇非偶函数,且在(0,+∝)上单调递减
D.偶函数,且在R上单调递减
题型:单选题
难度:简单
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