已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=ax,(a∈R).(1)若函数y=f(x)是偶函数,求出符合条件的实数a的值;(2)若方程f(x)=g(x)有两解,求出

已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=ax,(a∈R).(1)若函数y=f(x)是偶函数,求出符合条件的实数a的值;(2)若方程f(x)=g(x)有两解,求出

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=ax,(a∈R).
(1)若函数y=f(x)是偶函数,求出符合条件的实数a的值;
(2)若方程f(x)=g(x)有两解,求出实数a的取值范围;
(3)若a>0,记F(x)=g(x)•f(x),试求函数y=F(x)在区间[1,2]上的最大值.
答案
(1)∵函数f(x)=|x-a|为偶函数,
∴对任意的实数x,f(-x)=f(x)成立
即|-x-a|=|x-a|,
∴x+a=x-a恒成立,或x+a=a-x恒成立
∵x+a=a-x不能恒成立
∴x+a=x-a恒成立,得a=0.…(4分)
(2)当a>0时,|x-a|-ax=0有两解,
等价于方程(x-a)2-a2x2=0在(0,+∞)上有两解,
即(a2-1)x2+2ax-a2=0在(0,+∞)上有两解,…(6分)
令h(x)=(a2-1)x2+2ax-a2
因为h(0)=-a2<0,所以





a2-1<0
a
1-a2
>0
△=4a2+4a2(a2-1)>0
,故0<a<1;…(8分)
同理,当a<0时,得到-1<a<0;
当a=0时,f(x)=|x|=0=g(x),显然不合题意,舍去.
综上可知实数a的取值范围是(-1,0)∪(0,1).…(10分)
(3)令F(x)=f(x)•g(x)
①当0<a≤1时,则F(x)=a(x2-ax),
对称轴x=
a
2
∈(0,
1
2
]
,函数在[1,2]上是增函数,
所以此时函数y=F(x)的最大值为4a-2a2
②当1<a≤2时,F(x)=





-a(x2-ax),1<x≤a
a(x2-ax),a<x≤2
,对称轴x=
a
2
∈(
1
2
,1]

所以函数y=F(x)在(1,a]上是减函数,在[a,2]上是增函数,F(1)=a2-a,F(2)=4a-2a2
1)若F(1)<F(2),即1<a<
5
3
,此时函数y=F(x)的最大值为4a-2a2
2)若F(1)≥F(2),即
5
3
≤a≤2
,此时函数y=F(x)的最大值为a2-a.
③当2<a≤4时,F(x)=-a(x2-ax)对称轴x=
a
2
∈(1,2]

此时F(x)max=F(
a
2
)=
a3
4

④当a>4时,对称轴x=
a
2
∈(2,+∞)
,此时F(x)max=F(2)=2a2-4a
综上可知,函数y=F(x)在区间[1,2]上的最大值[F(x)]max=





4a-2a2,0<a<
5
3
a2-a,
5
3
≤a≤2
a3
4
,2<a≤4
2a2-4a,a>4.
…(16分)
举一反三
设f(x)为定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上为增函数,则f(-2),f(-π),f(3)的大小顺序是 ______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
函数f(x)=x2+ax+4,g(x)=bx.它们的交点是P(4,4).
(1)求函数y=f(x)-g(x)的解析式;
(2)设H(x)=f(x+
5
2
)-g(x+
5
2
)
,请判断H(x)的奇偶性.
(3)求函数y=log
1
2
[f(x)-g(x)]
题型:解答题难度:一般| 查看答案
某种游戏中,黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”.黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→…,黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→…,它们都遵循如下规则:所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线(其中i是正整数).设黑“电子狗”爬完2008段、黄“电子狗”爬完2009段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、黄“电子狗”间的距离是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=-2x2+(a+3)x+1-2a,g(x)=x(1-2x)+a,其中a∈R.
(1)若函数f(x)是偶函数,求函数f(x)在区间[-1,3]上的最小值;
(2)用函数的单调性的定义证明:当a≤1时,f(x)在区间[1,+∞)上为减函数;
(3)求对于任意a∈[-3,+∞),函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象上方的实数x的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0)满足条件:①f(-1+x)=f(-1-x);②函数f(x)的图象与直线y=x只有一个公共点.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若不等式πf(x)(
1
π
)
2-tx
在t∈[-2,2]
时恒成立,求实数x的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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