已知函数f(x)=-2x2+(a+3)x+1-2a,g(x)=x(1-2x)+a,其中a∈R.(1)若函数f(x)是偶函数,求函数f(x)在区间[-1,3]上的
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=-2x2+(a+3)x+1-2a,g(x)=x(1-2x)+a,其中a∈R. (1)若函数f(x)是偶函数,求函数f(x)在区间[-1,3]上的最小值; (2)用函数的单调性的定义证明:当a≤1时,f(x)在区间[1,+∞)上为减函数; (3)求对于任意a∈[-3,+∞),函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象上方的实数x的取值范围. |
答案
(1)∵函数f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),x∈R恒成立, 即:-2x2+(a+3)x+1-2a=-2x2-(a+3)x+1-2a ∴a=-3 ∴f(x)=-2x2+7;易知其对称轴为:x=0 ∴当x=0时,f(x)max=7,当x=3时,f(x)min=-11; (2)当a≤1时,f(x)=-2x2+(a+3)x+1-2a,下面证明函数f(x)在区间[1,+∞)上是减函数. 设x1>x2≥1,则f(x1)-f(x2)=)=-2x12+(a+3)x1+1-2a-(-2x22+(a+3)x2+1-2a,) =-2(x12-x22)+(a+3)(x1-x2) =(x1-x2)[-2(x1+x2)+a+3] ∵x1>x2≥1,则x1-x2>0,且-2(x1+x2)<-4, ∵a≤1,∴a+3≤4,∴-2(x1+x2)+a+3<0 ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 故函数f(x)在区间[1,+∞)上是减函数. (3)对于任意a∈[-3,+∞),函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象上方, 即-2x2+(a+3)x+1-2a>x(1-2x)+a在a∈[-3,+∞)上恒成立, 即(x-3)a+2x+1>0在a∈[-3,+∞)上恒成立, 设h(a)=(x-3)a+2x+1, ∴,即, 解得3<x<10, ∴实数x的取值范围为(3,10). |
举一反三
设二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0)满足条件:①f(-1+x)=f(-1-x);②函数f(x)的图象与直线y=x只有一个公共点. (1)求f(x)的解析式; (2)若不等式πf(x)>()2-tx在t∈[-2,2]时恒成立,求实数x的取值范围. |
已知函数f (x)是定义在闭区间[-a,a](a>0)上的奇函数,F(x)=f (x)+1,则F(x)最大值与最小值之和为( ) |
如果一个函数f(x)满足(1)定义域为R;(2)任意x1,x2∈R,若x1+x2=0,则f(x1)+f(x2)=0;(3)任意x∈R,若t>0,f(x+t)>f(x).则f(x)可以是( )A.y=-x | B.y=3x | C.y=x3 | D.y=log3x |
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已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2-x).,若方程f(x)=0有且仅有三个根,且x=0为其一个根,则其它两根为______. |
奇函数f(x)在(-∞,0)内是减函数,f(-2)=0,则满足xf(x-1)<0的x值的范围是______. |
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