(1)f(x)=lnx得f′(x)=, 函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)=1,切线方程为:y-0=x-1即y=x-1. 由已知得它与g(x)的图象相切,将y=x-1代入得x-1=x2-bx,即x2-(b+1)x+1=0, ∴△=(b+1)2-2=0,解得b=±-1, 即实数b的值为±-1. (2)h(x)=f(x)+g(x)=lnx+x2-bx, ∴h′(x)=+x-b, 根据函数h(x)在定义域(0,+∞)上存在单调减区间, ∴存在x>0,使得+x-b<0,即b>+x, 由于当x>0时,+x≥2, ∴b>2. ∴实数b 的取值范围(2,+∞). (3)对于区间[1,2]上的任意实数x,f′(x)=∈[,1]. g′(x)=x-b∈[1-b,2-b], 要使得对于区间[1,2]上的任意两个不相等的实数x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|成立, 若用注意到f(x)是增函数,不妨设x1>x2,则f(x1)>f(x2),问题转化为|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)| 等价于-f(x1)+f(x2)<g(x1)-g(x2)<f(x1)-f(x2)从而f(x1)-g(x1)>f(x2)-g(x2)且f(x1)+g(x1)>f(x2)+g(x2), 即f(x)-g(x)与f(x)+g(x)都是增函数, 利用导数的几何是切线的斜率,得到|f′(x)|>|g′(x)|, 即>|b-x|,于是x-≤b≤x+即(x-)max≤b≤(x+)min ∴≤b≤2. 则b的取值范围[,2]. |