试构造一个函数f(x),x∈D,使得对一切x∈D有|f(-x)|=|f(x)|恒成立,但是f(x)既不是奇函数又不是偶函数,则f(x)可以是______.
题型:解答题难度:一般来源:不详
试构造一个函数f(x),x∈D,使得对一切x∈D有|f(-x)|=|f(x)|恒成立,但是f(x)既不是奇函数又不是偶函数,则f(x)可以是______. |
答案
∵函数f(x),x∈D,使得对一切x∈D有|f(-x)|=|f(x)|恒成立, ∴[f(-x)]2=[f(x)]2,即[f(-x)+f(x)]•[f(-x)-f(x)]=0, ∴f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x); 而f(x)既不是奇函数又不是偶函数, 故可令函数f(x)=. |
举一反三
已知函数f(x)=2e2x+2x+sin2x.(Ⅰ)试判断函数f (x)的单调性并说明理由; (Ⅱ)若对任意的x∈[0,1],不等式组 | f(2kx-x2)>f(k-4) | f(x2-kx)>f(k-3) |
| | 恒成立,求实数k的取值范围. |
三位同学合作学习,对问题“已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,求a的取值范围”提出了各自的解题思路. 甲说:“可视x为变量,y为常量来分析”. 乙说:“不等式两边同除以x2,再作分析”. 丙说:“把字母a单独放在一边,再作分析”. 参考上述思路,或自已的其它解法,可求出实数a的取值范围是______. |
已知对于任意实数x,函数f(x)满足f(-x)=f(x).若方程f(x)=0有2009个实数解,则这2009个实数解之和为______. |
已知函数f(x)=-x3+x2+b,g(x)=,其中x∈R (I)当b=时,若函数F(x)=为R上的连续函数,求F(x)的单调区间; (Ⅱ)当a=-1时,若对任意x1,x2∈[1,2],不等式g(x1)<f(x2)恒成立,求实数b的取值范围. |
已知函数:f(x)=(a∈R且x≠a). (1)证明:f(x)+2+f(2a-x)=0对定义域内的所有x都成立; (2)当f(x)的定义域为[a+,a+1]时,求证:f(x)的值域为[-3,-2]; (3)(理)设函数g(x)=x2+|(x-a)f(x)|,求g(x)的最小值. (4)(文)设函数g(x)=x2+(x-a)f(x),其中x≤a-1,求g(x)的最小值. |
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