设f(x)=ax2+bx+1x+c(a>0)为奇函数,且|f(x)|min=22,数列{an}与{bn}满足如下关系:a1=2,an+1=f(an)-an2,b
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设f(x)=ax2+bx+1x+c(a>0)为奇函数,且|f(x)|min=22,数列{an}与{bn}满足如下关系:a1=2,an+1=f(an)-an2,b
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设f(x)=
a
x
2
+bx+1
x+c
(a>0)为奇函数,且|f(x)|
min
=
2
2
,数列{a
n
}与{b
n
}满足如下关系:a
1
=2,
a
n+1
=
f(
a
n
)-
a
n
2
,
b
n
=
a
n
-1
a
n
+1
.
(1)求f(x)的解析表达式;
(2)证明:当n∈N
+
时,有b
n
≤
(
1
3
)
n
.
答案
由f(x)是奇函数,得b=c=0,
由|f(x)
min
|=
2
2
,得a=2,故f(x)=
2
x
2
+1
x
(2)
a
n+1
=
f(
a
n
)-
a
n
2
=
2
a
2n
+1
a
n
-
a
n
2
=
a
2n
+1
2
a
n
,
b
n+1
=
a
n+1
-1
a
n+1
+1
=
a
2n
+1
2
a
n
-1
a
2n
+1
2
a
n
+1
=
a
2n
-2
a
n
+1
a
2n
+2
a
n
+1
=
(
a
n
-1
a
n
+1
)
2
=b
n
2
∴b
n
=b
n-1
2
=b
n-2
4
═
b
2
n-1
1
,而b
1
=
1
3
∴b
n
=
(
1
3
)
2
n-1
当n=1时,b
1
=
1
3
,命题成立,
当n≥2时∵2
n-1
=(1+1)
n-1
=1+C
n-1
1
+C
n-1
2
++C
n-1
n-1
≥1+C
n-1
1
=n
∴
(
1
3
)
2
n-1
<
(
1
3
)
n
,即b
n
≤
(
1
3
)
n
.
举一反三
已知函数
y=
1
3
x
3
+
x
2
+x
的图象C上存在一点P满足:若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M(x
1
,y
1
)、N(x
2
,y
2
),恒有y
1
+y
2
为定值y
0
,则y
0
的值为( )
A.
-
1
3
B.
-
2
3
C.
-
4
3
D.-2
题型:单选题
难度:简单
|
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若函数
f(x)=
x-1
x
+a
为奇函数,则实数a的值是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+2)+f(x+2)f(x)+f(x)=1,
f(1)=
1
2
,
f(2)=
1
4
,则f(2007)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且当-1≤x≤0时,f(x)=2x
3
+5ax
2
+4a
2
x+b.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)当1<a≤3时,求函数f(x)在(0,1]上的最大值g(a);
(Ⅲ)如果对满足1<a≤3的一切实数a,函数f(x)在(0,1]上恒有f(x)≤0,求实数b的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=log
a
x和g(x)=2log
a
(2x+t-2),(a>0,a≠1,t∈R)的图象在X=2处的切线互相平行.
(1)求T的值;
(2)设F(x)=g(x)-f(x),当x∈[1,4]时,F(x)≥2恒成立,求A的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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