设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且当-1≤x≤0时,f(x)=2x3+5ax2+4a2x+b.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)当1<a≤3时,求函
题型:解答题难度:一般来源:深圳二模
设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且当-1≤x≤0时,f(x)=2x3+5ax2+4a2x+b. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)当1<a≤3时,求函数f(x)在(0,1]上的最大值g(a); (Ⅲ)如果对满足1<a≤3的一切实数a,函数f(x)在(0,1]上恒有f(x)≤0,求实数b的取值范围. |
答案
(Ⅰ)当0<x≤1时,-1≤-x<0,则 f(x)=-f(-x)=2x3-5ax2+4a2x-b. 当x=0时,f(0)=-f(-0)∴f(0)=0; ∴f(x)= | 2x3+5ax2+4a2x+b,(-1≤x<0) | 2x3-5ax2+4a2x-b,(0<x≤1) | f(0)=0 |
| | ; (Ⅱ)当0<x≤1时,f′(x)=6x2-10ax+4a2=2(3x-2a)(x-a)=6(x-)(x-a). ①当<<1,即1<a<时, 当x∈(0,)时,f′(x)>0,当x∈(,1]时,f′(x)<0, ∴f(x)在(0,)单调递增,在(,1]上单调递减, ∴g(a)=f()=a3-b. ②当1≤≤2,即≤a≤3时,f′(x)>0, ∴f(x)在(0,1]单调递增. ∴g(a)=f(1)=4a2-5a+2-b, ∴g(a)= | a3-b,(1<a<) | 4a2-5a+2-b,(≤a≤3) |
| |
(Ⅲ)要使函数f(x)在(0,1]上恒有f(x)≤0,必须f(x)在(0,1]上的最大值g(a)≤0. 也即是对满足1<a≤3的实数a,g(a)的最大值要小于或等于0. ①当1<a≤时,g′(a)=a2>0,此时g(a)在(1,)上是增函数, 则g(a)<()3-b=-b.∴-b≤0,解得b≥; ②当≤a≤3时,g′(a)=8a-5>0,此时,g(a)在[,3]上是增函数,g(a)的最大值是g(3)=23-b. ∴23-b≤0,解得b≥23. 由①、②得实数b的取值范围是b≥23. |
举一反三
已知函数f(x)=logax和g(x)=2loga(2x+t-2),(a>0,a≠1,t∈R)的图象在X=2处的切线互相平行. (1)求T的值; (2)设F(x)=g(x)-f(x),当x∈[1,4]时,F(x)≥2恒成立,求A的取值范围. |
已知集合MD是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数k,使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1,x2,均有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立. (Ⅰ) 当D=R时,f(x)=x是否属于MD?说明理由; (Ⅱ) 当D=[0,+∞)时,函数f(x)=属于MD,求k的取值范围; (Ⅲ) 现有函数f(x)=sinx,是否存在函数g(x)=kx+b(k≠0),使得下列条件同时成立: ①函数g(x)∈MD; ②方程g(x)=0的根t也是方程f(x)=0的根,且g(f(t))=f(g(t)); ③方程f(g(x))=g(f(x))在区间[0,2π)上有且仅有一解.若存在,求出满足条件的k和b;若不存在,说明理由. |
已知函数f(x) = lg. (1)求f(x)的定义域; (2)求该函数的反函数f-1(x); (3)判断f-1(x)的奇偶性. |
函数f(x)=sin(x+)sin(x+)的最小正周期是T=______ |
设函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d,(a,b,c,d∈R)的图象关于原点对称,且x=1时,f(x)取极小值-. (Ⅰ)求a,b,c,d的值; (Ⅱ)当x∈[-1,1]时,图象上是否存在两点,使两点处的切线互相垂直?试证明你的结论; (Ⅲ)若x1,x2∈[-1,1],求证:|f(x1)-f(x2)|≤. |
最新试题
热门考点