已知函数f(x)=logax和g(x)=2loga(2x+t-2),(a>0,a≠1,t∈R)的图象在X=2处的切线互相平行.(1)求T的值;(2)设F(x)=
题型:解答题难度:一般来源:深圳一模
已知函数f(x)=logax和g(x)=2loga(2x+t-2),(a>0,a≠1,t∈R)的图象在X=2处的切线互相平行. (1)求T的值; (2)设F(x)=g(x)-f(x),当x∈[1,4]时,F(x)≥2恒成立,求A的取值范围. |
答案
(I)∵f′(x)=logae,g′(x)=logae(3分) ∵函数f(x)和g(x)的图象在X=2处的切线互相平行, ∴f"(2)=g"(2)(5分) ∴logae=logae, ∴t=6(6分) (II)∴F(x)=g(x)-f(x)=2loga(2x+4)-logax=loga,x∈[1,4] 令 h(x)==4x++16,x∈[1,4]∵h′(x)=4-=,x∈[1,4] ∴当1≤x<2时,h′(x)<0, 当2<x≤4时,h′(x)>0.h(x)在[1,2)是单调减函数,在(2,4]是单调增函数.(9分) ∴h(x)min=h(2)=32,∴h(x)max=h(1)=h(4)=36 ∴当0<a<1时,有F(x)min=loga36,当a>1时,有F(x)min=loga32. ∵当x∈[1,4]时,F(x)≥2恒成立,∴F(x)min≥2(10分) ∴满足条件的a的值满足下列不等式组 ;①,或 ② 不等式组①的解集为空集,解不等式组②得 1<a≤4 综上所述,满足条件的 a的取值范围是:1<a≤4.(12分) |
举一反三
已知集合MD是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数k,使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1,x2,均有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立. (Ⅰ) 当D=R时,f(x)=x是否属于MD?说明理由; (Ⅱ) 当D=[0,+∞)时,函数f(x)=属于MD,求k的取值范围; (Ⅲ) 现有函数f(x)=sinx,是否存在函数g(x)=kx+b(k≠0),使得下列条件同时成立: ①函数g(x)∈MD; ②方程g(x)=0的根t也是方程f(x)=0的根,且g(f(t))=f(g(t)); ③方程f(g(x))=g(f(x))在区间[0,2π)上有且仅有一解.若存在,求出满足条件的k和b;若不存在,说明理由. |
已知函数f(x) = lg. (1)求f(x)的定义域; (2)求该函数的反函数f-1(x); (3)判断f-1(x)的奇偶性. |
函数f(x)=sin(x+)sin(x+)的最小正周期是T=______ |
设函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d,(a,b,c,d∈R)的图象关于原点对称,且x=1时,f(x)取极小值-. (Ⅰ)求a,b,c,d的值; (Ⅱ)当x∈[-1,1]时,图象上是否存在两点,使两点处的切线互相垂直?试证明你的结论; (Ⅲ)若x1,x2∈[-1,1],求证:|f(x1)-f(x2)|≤. |
设函数f(x)=.(a∈R且a≠0) (1)分别判断当a=1及a=-2时函数的奇偶性. (2)在a∈R且a≠0的条件下,将(1)的结论加以推广,使命题(1)成为推广后命题的特例,并对推广的结论加以证明. |
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