设f(x)=ax2+bx+c,若f(1)=72,问是否存在a、b、c∈R,使得不等式x2+12≤f(x)≤2x2+2x+32对一切实数x都成立,证明你的结论.

设f(x)=ax2+bx+c,若f(1)=72,问是否存在a、b、c∈R,使得不等式x2+12≤f(x)≤2x2+2x+32对一切实数x都成立,证明你的结论.

题型:解答题难度:一般来源:不详
设f(x)=ax2+bx+c,若f(1)=
7
2
,问是否存在a、b、c∈R,使得不等式x2+
1
2
≤f(x)≤2x2+2x+
3
2
对一切实数x都成立,证明你的结论.
答案
由f(1)=
7
2
,得a+b+c=
7
2
.令x2+
1
2
=2x2+2x+
3
2
⇒x=-1.
由f(x)≤2x2+2x+
3
2
推得f(-1)≤
3
2

由f(x)≥x2+
1
2
推得f(-1)≥
3
2

∴f(-1)=
3
2

∴a-b+c=
3
2
.故a+c=
5
2
且b=1.
∴f(x)=ax2+x+
5
2
-a.
依题意ax2+x+
5
2
-a≥x2+
1
2
对一切x∈R都成立,
∴a≠1且△=1-4(a-1)(2-a)≤0.
由a-1>0得a=
3
2

∴f(x)=
3
2
x2+x+1.
证明如下:
3
2
x2+x+1-2x2-2x-
3
2
=-
1
2
x2-x-
1
2
=-
1
2
(x+1)2≤0.
3
2
x2+x+1≤2x2+2x+
3
2
对x∈R都成立.
∴存在实数a=
3
2
,b=1,c=1,
使得不等式x2+
1
2
≤f(x)≤2x2+2x+
3
2
对一切x∈R都成立.
举一反三
已知对任意x,恒有y≥sin2x+4sin2xcos2x,求y的最小值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
当x∈[-1,2]时,不等式a≥x2-2x-1恒成立,则实数a的取值范围是(  )
A.a≥2B.a≥1C.a≥0D.a≥-2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
设函数f(x)是R上的偶函数,且当x>0时,f(x)=2x-3,则f(-2)等于(  )
A.1B.
11
4
C.-1D.-
11
4
题型:单选题难度:一般| 查看答案
对于0<m≤5的m,不等式x2+(2m-1)x>4x+2m-4恒成立,则x的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=2|x|-2,则f(x)是______(填“奇”或“偶”)函数,不等式x[f(x)+f(-x)]>0的解集是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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