设f(x)=ax2+bx+c,若f(1)=72,问是否存在a、b、c∈R,使得不等式x2+12≤f(x)≤2x2+2x+32对一切实数x都成立,证明你的结论.
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设f(x)=ax2+bx+c,若f(1)=72,问是否存在a、b、c∈R,使得不等式x2+12≤f(x)≤2x2+2x+32对一切实数x都成立,证明你的结论.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设f(x)=ax
2
+bx+c,若f(1)=
7
2
,问是否存在a、b、c∈R,使得不等式x
2
+
1
2
≤f(x)≤2x
2
+2x+
3
2
对一切实数x都成立,证明你的结论.
答案
由f(1)=
7
2
,得a+b+c=
7
2
.令x
2
+
1
2
=2x
2
+2x+
3
2
⇒x=-1.
由f(x)≤2x
2
+2x+
3
2
推得f(-1)≤
3
2
,
由f(x)≥x
2
+
1
2
推得f(-1)≥
3
2
,
∴f(-1)=
3
2
.
∴a-b+c=
3
2
.故a+c=
5
2
且b=1.
∴f(x)=ax
2
+x+
5
2
-a.
依题意ax
2
+x+
5
2
-a≥x
2
+
1
2
对一切x∈R都成立,
∴a≠1且△=1-4(a-1)(2-a)≤0.
由a-1>0得a=
3
2
.
∴f(x)=
3
2
x
2
+x+1.
证明如下:
3
2
x
2
+x+1-2x
2
-2x-
3
2
=-
1
2
x
2
-x-
1
2
=-
1
2
(x+1)
2
≤0.
∴
3
2
x
2
+x+1≤2x
2
+2x+
3
2
对x∈R都成立.
∴存在实数a=
3
2
,b=1,c=1,
使得不等式x
2
+
1
2
≤f(x)≤2x
2
+2x+
3
2
对一切x∈R都成立.
举一反三
已知对任意x,恒有y≥sin
2
x+4sin
2
xcos
2
x,求y的最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
当x∈[-1,2]时,不等式a≥x
2
-2x-1恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.a≥2
B.a≥1
C.a≥0
D.a≥-2
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
设函数f(x)是R上的偶函数,且当x>0时,f(x)=2
x
-3,则f(-2)等于( )
A.1
B.
11
4
C.-1
D.
-
11
4
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
对于0<m≤5的m,不等式x
2
+(2m-1)x>4x+2m-4恒成立,则x的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=2
|x|
-2,则f(x)是______(填“奇”或“偶”)函数,不等式x[f(x)+f(-x)]>0的解集是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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