已知定义域为R的函数f(x)=12x+1-12.(1)判断其奇偶性并证明;(2)判断函数f(x)在R上的单调性,不用证明;(3)是否存在实数k,对于任意t∈[1
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已知定义域为R的函数f(x)=12x+1-12.(1)判断其奇偶性并证明;(2)判断函数f(x)在R上的单调性,不用证明;(3)是否存在实数k,对于任意t∈[1
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知定义域为R的函数
f(x)=
1
2
x
+1
-
1
2
.
(1)判断其奇偶性并证明;
(2)判断函数f(x)在R上的单调性,不用证明;
(3)是否存在实数k,对于任意t∈[1,2],不等式f(t
2
-2t)+f(2t
2
-k)>0恒成立.若存在,求出实数k的取值范围;若不存在,说明理由.
答案
(1)f(x)是奇函数.
证明:∵
f(-x)=
1
2
-x
+1
-
1
2
=
2
x
2
x
+1
-
1
2
=1-
1
2
x
+1
-
1
2
=
1
2
-
1
2
x
+1
=-(
1
2
x
+1
-
1
2
)=-f(x)
∴f(x)是R上的奇函数.(3分)
(2)由(1)可知f(x)是奇函数,
当x=0时,f(x)=0,
当x>0且x越来越大,f(x)越来越小,x→+∞,f(x)越来越来→-
1
2
,
∴f(x)是R上的减函数.(6分)
(3)∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(t
2
-2t)>-f(2t
2
-k)=f(k-2t
2
)(9分)
又f(x)是R上的减函数
∴t
2
-2t<k-2t
2
即问题等价于对任意t∈[1,2],k>3t
2
-2t恒成立(12分)
令g(t)=3t
2
-2t,
则g(t)在[1,2]上是增函数,
∴g(t)
max
=g(2)=12-4=8(13分)
∴k>8.
举一反三
已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,f(-1)=1,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2009)的值为 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知f(x)是R上的奇函数,则f(0)的值为( )
A.1
B.-1
C.0
D.不确定
题型:单选题
难度:一般
|
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设f(x)=x
2
+2
|x|
,对于实数x
1
,x
2
,给出下列条件:①x
1
>x
2
,②x
1
2
>x
2
2
,③x
1
>|x
2
|;其中能使f(x
1
)>f(x
2
)恒成立的是______(写出所有答案)
题型:填空题
难度:简单
|
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已知指数函数y=g(x)满足:
g(-3)=
1
8
,定义域为R的函数f(x)=
-g(x)+n
2g(x)+m
是奇函数.
(1)确定函数g(x)与f(x)的解析式;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t
2
-2t)+f(2t
2
-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知△ABC中,满足
AB
2
=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB
,a,b,c分别是△ABC的三边.
(1)试判定△ABC的形状,并求sinA+sinB的取值范围.
(2)若不等式a
2
(b+c)+b
2
(c+a)+c
2
(a+b)≥kabc对任意的a,b,c都成立,求实数k的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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