已知函数f(x)=(m+1)x2-(m-1)x+m-1(1)若不等式f(x)<1的解集为R,求m的取值范围;(2)解关于x的不等式f(x)≥(m+1)x;(3)
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已知函数f(x)=(m+1)x2-(m-1)x+m-1(1)若不等式f(x)<1的解集为R,求m的取值范围;(2)解关于x的不等式f(x)≥(m+1)x;(3)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=(m+1)x
2
-(m-1)x+m-1
(1)若不等式f(x)<1的解集为R,求m的取值范围;
(2)解关于x的不等式f(x)≥(m+1)x;
(3)若不等式f(x)≥0对一切
x∈[-
1
2
,
1
2
]
恒成立,求m的取值范围.
答案
(1)①当m+1=0即m=-1时,f(x)=2x-3,不合题意; …(1分)
②当m+1≠0即m≠-1时,
m+1<0
△=(m-1
)
2
-4(m+1)(m-2)<0
,即
m<-1
3
m
2
-2m-9>0
,…(3分)
∴
m<-1
m<
1-2
7
3
或m>
1+2
7
3
,
∴m<
1-2
7
3
…(5分)
(2)f(x)≥(m+1)x即(m+1)x
2
-2mx+m-1≥0
即[(m+1)x-(m-1)](x-1)≥0
①当m+1=0即m=-1时,解集为{x|x≥1}…(7分)
②当m+1>0即m>-1时,(x-
m-1
m+1
)(x-1)≥0,
∵
m-1
m+1
=1-
2
m+1
<1,
∴解集为{x|x≤
m-1
m+1
或x≥1}…(9分)
③当m+1<0即m<-1时,(x-
m-1
m+1
)(x-1)≥0,
∵
m-1
m+1
=1-
2
m+1
>1,
∴解集为{x|x≥
m-1
m+1
或x≤1}…(…(11分)
(3)(m+1)x
2
-(m-1)x+m-1≥0,即m(x
2
-x+1)≥-x
2
-x+1,
∵x
2
-x+1>0恒成立,
∴m≥
-
x
2
-x+1
x
2
-x+1
=-1+
2(1-x)
x
2
-x+1
…(13分)
设1-x=t,则t∈[
1
2
,
3
2
],x=1-t,
∴
1-x
x
2
-x+1
=
t
(1-t)
2
-(1-t)+1
=
t
t
2
-t+1
=
1
t+
1
t
-1
,
∵t+
1
t
≥2,当且仅当t=1时取等号,
∴
1-x
x
2
-x+1
≤1,当且仅当x=0时取等号,
∴当x=0时,
(
-
x
2
-x+1
x
2
-x+1
)
max
=1,
∴m≥1…(16分)
举一反三
定义在R上的偶函数f(x),其图象不间断,当x≥0时,f(x)单调递增,f(1)•f(2)<0,则y=f(x)的图象与x轴的交点个数是 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=a
x
(a>1),
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若不等式f(x)≤4的解集为[-2,2],求a的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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将函数f(x)=lg(x
2
-x+1)写成一个偶函数与一个奇函数的和,其中奇函数为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=x
2
+(m-1)x+m,(m∈R)
(1)若f(x)是偶函数,求m的值.
(2)设g(x)=
f(x)
x
,x∈[
1
4
,4],求g(x)的最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知定义在[-2,2]上的g(x)为奇函数,且在区间[0,2]上单调递增,则满足g(1-m)<g(m)的m的取值范围为______.
题型:填空题
难度:简单
|
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