已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且|ka+b|=3|a-kb|(k>0),令f(k)=a•b,(1)求f(k)=a•b(用k表示);(2)当k>0时,f(

已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且|ka+b|=3|a-kb|(k>0),令f(k)=a•b,(1)求f(k)=a•b(用k表示);(2)当k>0时,f(

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知向量


a


b
满足|


a
|=|


b
|=1
,且|k


a
+


b
|=


3
|


a
-k


b
|(k>0)
,令f(k)=


a


b

(1)求f(k)=


a


b
(用k表示);
(2)当k>0时,f(k)≥x2-2tx-
1
2
对任意的t∈[-1,1]恒成立,求实数x取值范围.
答案
(Ⅰ)由题设得|


a
|2=|


b
|2=1
,对|k


a
+


b
|=


3
|


a
-k


b
|

两边平方得k2


a
2
+2k


a


b
+


b
2
=3(


a
2
-2k


a


b
+k2


b
2
)
. …(2分)
展开整理易得f(k)=


a


b
=
k2+1
4k
(k>0)
.…(4分)
(Ⅱ)∵f(k)=
k2+1
4k
=
k
4
+
1
4k
1
2
,当且仅当k=1时取得等号.…(6分)
欲使f(k)≥x2-2tx-
1
2
对任意的t∈[-1,1]恒成立,等价于
1
2
x2-2tx-
1
2
…(7分)
即g(t)=2xt-x2+1≥0在[-1,1]上恒成立.
而g(t)在[-1,1]上为单调函数或常函数,
所以





g(1)=2x-x2+1≥0
g(-1)=-2x-x2+1≥0
,…(11分) 
解得1-


2
≤x≤


2
-1
,…(13分)
故实数x的取值范围为[1-


2


2
-1]
. …(14分)
举一反三
数列{an}满足a1=a,an+1=


an+3
2
,n=1,2,3,….
(Ⅰ)若an+1=an,求a的值;
(Ⅱ)当a=
1
2
时,证明:an
3
2

(Ⅲ)设数列{an-1}的前n项之积为Tn.若对任意正整数n,总有(an+1)Tn≤6成立,求a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
对于任意x∈R,若关于x的不等式ax2-|x+1|+2a≥0恒成立,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是(  )
A.y=exB.y=x
1
2
C.y=x3D.y=sinx
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数y=
2x
1+4x
的奇偶性是(  )
A.f(x)是奇函数B.f(x)是偶函数
C.f(x)是非奇非偶函数D.以上都不对
题型:单选题难度:简单| 查看答案
若存在实数p∈[-1,1],使得不等式px2+(p-3)x-3>0成立,则实数x的取值范围为______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
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