已知函数f（x）在定义域（-∞，1]上是减函数，问是否存在实数k，使不等式f（k-sinx）≥f（k2-sin2x）对一切实数x恒成立？并说明理由．
题型：解答题难度：一般来源：不详
| 已知函数f（x）在定义域（-∞，1]上是减函数，问是否存在实数k，使不等式f（k-sinx）≥f（k2-sin2x）对一切实数x恒成立？并说明理由． |
答案
由题意，可得
∵函数f（x）是定义在（-∞，1]上的减函数，不等式f（k-sinx）≥f（k2-sin2x）恒成立
∴不等式 | | k-sinx≤1 | | k2-sin 2x≤1 | | k-sinx≤k2-sin 2x |
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对一切实数x恒成立，
即 | | k≤sinx+1 | | k2≤sin 2x +1 | | k-k2≤sinx-sin 2x |
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对一切实数x恒成立，
由此可得k2≤（1+sin2x）min且k-k2≤（sinx-sin2x）max
∴k2≤1且k-k2≤-2解之得k=-1
即存在实数k=-1，使不等式f（k-sinx）≥f（k2-sin2x）对一切实数x恒成立． |
举一反三
已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x-2）在[0，2]上是单调减函数，则（ ）| A．f（0）＜f（-1）＜f（2） | B．f（-1）＜f（0）＜f（2） | C．f（-1）＜f（2）＜f（0） | D．f（2）＜f（-1）＜f（0） |
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| 若f（x）=asinx+3cosx是偶函数，则实数a=______． |
| 定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1，x2，均有|f（x1）-f（x2）|≤k（x1-x2|成立，则称函数f（x）在定义域D上满足利普希茨条件．对于函数f（x）=（x≥1）满足利普希茨条件，则常数k的最小值应是（ ） |
| 函数y=f（x）满足 f（x+2）=-f（x），当x∈（-2，2]时，f（x）=x2-1，则f（x）在[0，2010]上零点的个数为（ ） |
| f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+2）=f（x），当x∈（-2，0）时，f（x）=2x-2，则f（-3）的值等于（ ） |
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