设函数f(x)=(x-a)2lnx,a∈R,e为自然对数的底数,e=2.7182…,如果对任意的x∈(0,3e],恒有f(x)≤4e2成立,求a的取值范围.

设函数f(x)=(x-a)2lnx,a∈R,e为自然对数的底数,e=2.7182…,如果对任意的x∈(0,3e],恒有f(x)≤4e2成立,求a的取值范围.

题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=(x-a)2lnx,a∈R,e为自然对数的底数,e=2.7182…,如果对任意的x∈(0,3e],恒有f(x)≤4e2成立,求a的取值范围.
答案
f"(x)=(x-a)(2ln x+1-
a
x
).
①当0<x≤1时,对于任意的实数a,恒有f(x)≤0<4e2成立
②当1<x≤3e时,由题意,首先有f(3e)=(3e-a)2ln3e≤4e2,解得3e-
2e


ln3e
≤a≤3e+
2e


ln3e

由(I)知f′(x)=2(x-a)lnx+
(x-a)2
x
=(x-a)(2lnx+1-
a
x
),
令h(x)=2lnx+1-
a
x
,则h(1)=1-a<0,h(a)=2lna>0且h(3e)=2ln3e+1-
a
3e
≥2ln3e+1-
3e+
2e


ln3e
3e
=2(ln3e-
1
3


ln3e
)>0
又h(x)在(0,+∞)内单调递增,所以函数h(x)在(0,+∞)内有唯一零点,记此零点为x0
则1<x0<3e,1<x0<a,从而,当x∈(0,x0)时,f′(x)>0,当x∈(x0,a)时,f′(x)<0,当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,即f(x)在(0,x0)内是增函数,在(x0,a)内是减函数,在(a,+∞)内是增函数
所以要使得对任意的x∈(0,3e],恒有f(x)≤4e2成立只要有





f(x0)=(x0-a)2lnx04e2
f(3e)=(3e-a)2ln3e≤4e2

有h(x0)=2lnx0+1-
a
x0
=0得a=2x0lnx0+x0,将它代入f(x0)=(x0-a)2lnx04e2得4x02ln2x0≤4e2
又x0>1,注意到函数4x2ln2x在(1,+∞)上是增函数故1<x0≤e
再由a=2x0lnx0+x0,及函数2xlnx+x在(1,+∞)上是增函数,可得1<a≤3e
由f(3e)=(3e-a)2ln3e≤4e2解得3e-
2e


ln3e
≤a≤3e+
2e


ln3e

所以得3e-
2e


ln3e
≤a≤3e

综上,a的取值范围为3e-
2e


ln3e
≤a≤3e
举一反三
已知函数f(x)=ln(ex+a)(a为常数)求实数集R上的奇函数,函数g(x)=λf(x)+sinx是区间[-1,1]上的减函数.
(1)求a的值;
(2)若g(x)≤t2+λt+1在x∈[-1,1]及λ所在的取值范围上恒成立,求t的取值范围;
(3)讨论关于x的方程
lnx
f(x)
=x2-2ex+m
的根的个数.
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已知函数f(x)是R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x2-3asin
πx
2
,且f(3)=6
,则实数a=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数y=
5-3x
x+2
的图象关于点______ 对称.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知f(x)是偶函数,且当x>0时,f(x)=x2-2x,则当x<0时,f(x)=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=x2+ax+b-2ln(x+1)在x=0处取到极小值1.
(Ⅰ)求实数a、b的值及函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若当x∈[-
1
2
,e-1]
时,不等式f(x)<m恒成立,求实数m的取值范围.
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