已知函数f(x)=ax-1-lnx,a∈R.(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数f(x)在x=1处取得极值,对∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒
题型:解答题难度:一般来源:石景山区一模
已知函数f(x)=ax-1-lnx,a∈R. (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数f(x)在x=1处取得极值,对∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围. |
答案
(Ⅰ)在区间(0,+∞)上,f′(x)=a-=.…(1分) ①若a≤0,则f′(x)<0,f(x)是区间(0,+∞)上的减函数; …(3分) ②若a>0,令f′(x)=0得x=. 在区间(0,)上,f′(x)<0,函数f(x)是减函数; 在区间(,+∞)上,f′(x)>0,函数f(x)是增函数; 综上所述,①当a≤0时,f(x)的递减区间是(0,+∞),无递增区间; ②当a>0时,f(x)的递增区间是(,+∞),递减区间是(0,).…(6分) (II)因为函数f(x)在x=1处取得极值,所以f′(1)=0 解得a=1,经检验满足题意.…(7分) 由已知f(x)≥bx-2,则≥b …(8分) 令g(x)==1--,则g′(x)=--= …(10分) 易得g(x)在(0,e2]上递减,在[e2,+∞)上递增,…(12分) 所以g(x)min=g(e2)=1-,即b≤1-. …(13分) |
举一反三
函数f(x)为奇函数,且f(x)=+1,x>0,则当x<0,f(x)=______. |
定义在R上的函数s(x)(已知)可用f(x),g(x)的和来表示,且f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则f(x)=______. |
判断下列函数的奇偶性 ①y=x3+; ②y=+; ③y=x4+x; ④y= | x2+2(x>0) | 0(x=0) | -x2-2(x<0) |
| | . |
已知函数f(x)=x|x-a|-2,当x∈[1,2]时,f(x)<0恒成立,则实数a的取值范围是______. |
定义在(-1,1)的函数f(x),对于任意的x,y∈(-1,1),都有f()=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)>0,f()= (1)判断f(x)的奇偶性并证明 (2)证明f(x)在区间(-1,1)上是增函数 (3)若f(x)<m2-2am+1,对所有x∈[-,],a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围. |
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