已知函数f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行.①求函数的单调区间;②求函数的极大值与极小值的
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行. ①求函数的单调区间; ②求函数的极大值与极小值的差; ③当x∈[1,3]时,f(x)>1-4c2恒成立,求实数c的取值范围. |
答案
①首先f′(x)=3x2+6ax+3b, 因为函数f(x)在x=2取得极值,所以f′(2)=3•22+6a•2+3b=0 即4a+b+4=0…(i) 其次,因为图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行 所以f′(1)=3•12+6a•1+3b=-3 即2a+b+2=0…(ii) 联解(i)、(ii)可得a=-1,b=0 所以:f′(x)=3x2-6x=3x(x-2) 当f′(x)>0时,x<0或x>2;当f′(x)<0时,0<x<2 ∴函数的单调增区间是 (-∞,0)和(2,+∞);函数的单调减区间是(0,2) ②由①得,函数的表达式为(x)=x3-3x2+c, 因此求出函数的极大值为f(0)=c,极小值为f(2)=c-4 故函数的极大值与极小值的差为c-(c-4)=4 ③f(x)>1-4c2在x∈[1,3]时恒成立,说明函数在此区间上的最小值大于1-4c2, 求出[f(x)]min=f(2)=c-4,故c-4>1-4c2 解得c>1或c<- |
举一反三
对于0≤m≤4的m,不等式x2+mx>4x+m-3恒成立,则x的取值范围是______. |
已知函数f(x)=x2-2x+5. (1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由. (2)若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)>0成立,求实数m的取值范围. |
已知偶函数f(x)的图象与x轴有五个公共点,那么方程f(x)=0的所有实根之和为______. |
设函数f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数a=______. |
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