已知函数f(x)=(x-1x+1)2(x>1).(1)求f-1(x)的表达式;(2)判断f-1(x)的单调性;(3)若对于区间[14,12]上的每一个x的值,不

已知函数f(x)=(x-1x+1)2(x>1).(1)求f-1(x)的表达式;(2)判断f-1(x)的单调性;(3)若对于区间[14,12]上的每一个x的值,不

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=(
x-1
x+1
)2(x>1)

(1)求f-1(x)的表达式;
(2)判断f-1(x)的单调性;
(3)若对于区间[
1
4
1
2
]
上的每一个x的值,不等式(1-


x
)f-1(x)>m(m-


x
)
恒成立,求m的取值范围.
答案
(1)由y=(
x-1
x+1
)2(x>1)
,得
x-1
x+1
=


y

x-1=


y
(x+1)
,于是x=
1+


y
1-


y

又x>1时,
x-1
x+1
=1-
2
x+1
∈(0,1),所以(
x-1
x+1
)2
∈(0,1).

f-1(x)=
1+


x
1-


x
 (0<x<1)

(2)由于
x-1
x+1
=1-
2
x+1
是(1,+∞)上的增函数,且
x-1
x+1
>0,
∴f(x)是(1,+∞)上的增函数,
从而f-1(x)是(0,1)上的增函数;
(3)(1-


x
)f-1(x)>m(m-


x
),亦即(1+m)


x
-m2+1>0
在区间[
1
4
1
2
]
上恒成立,





1
2
(1+m)-m2+1>0


2
2
(1+m)-m2+1>0.
解得-1<m<
3
2
举一反三
已知函数y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2+ax(a∈R),f(2)=6,则a=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2+bx+c,g(x)=2x+b,对任意的x∈R,恒有g(x)≤f(x).
(1)证明:c≥1;
(2)若b>0,不等式m(c2-b2)≥f(c)-f(b)恒成立,求m的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设f(x)是R上的奇函数,且当x>0时f(x)=x2+x+1,则f(-2)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知定义在R上的奇函数f(x),当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则方程f(x)=0的解集为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
若函数f(x)是定义在实数集上的奇函数,且f(x-2)=-f(x),给出下列结论:①f(2)=0;②f(x)以4为周期;③f(x)的图象关于y轴对称;④f(x+2)=f(-x).
这些结论中正确的有______.(必须填写序号)
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