已知R上的不间断函数g(x)满足:①当x>0时,g"(x)>0恒成立;②对任意的x∈R都有g(x)=g(-x).又函数f(x)满足:对任意的x∈R,都有f(3+

已知R上的不间断函数g(x)满足:①当x>0时,g"(x)>0恒成立;②对任意的x∈R都有g(x)=g(-x).又函数f(x)满足:对任意的x∈R,都有f(3+

题型:填空题难度:一般来源:不详
已知R上的不间断函数g(x)满足:①当x>0时,g"(x)>0恒成立;②对任意的x∈R都有g(x)=g(-x).又函数f(x)满足:对任意的x∈R,都有f(


3
+x)=-f(x)
成立,当x∈[0,


3
]
时,f(x)=x3-3x.若关于x的不等式g[f(x)]≤g(a2-a+2)对x∈[-3,3]恒成立,则a的取值范围______.
答案
因为函数g(x)满足:当x>0时,g"(x)>0恒成立,且对任意x∈R都有g(x)=g(-x),
∴函数g(x)为R上的偶函数且在[0,+∞)上为单调递增函数,且有g|(x|)=g(x),
∴g[f(x)]≤g(a2-a+2)在R上恒成立,
∴|f(x)|≤|a2-a+2|对x∈[-
3
2
-2


3
3
2
-2


3
]恒成立,
只要使得定义域内|f(x)|max≤|a2-a+2|min,
由于当x∈[-3,3]时,f(x)=x3-3x,
求导得:f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
该函数过点(-3,0),(0,0),( 3,0),且函数在x=-1处取得极大值f(-1)=2,在x=1处取得极小值f(1)=-2,
又由于对任意的x∈R都有f(


3
+x)=-f(x),
∴f(2


3
+x)=-f(


3
+x)=f(x)成立,则函数f(x)为周期函数且周期为T=2


3

所以函数f(x)在x∈[-
3
2
-2


3
3
2
-2


3
]的最大值为2,所以令2≤|a2-a+2|
解得:a≥1或a≤0.
故答案为:a≥1或a≤0.
举一反三
设函数f(x)=x3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
1
x
-log2
1+x
1-x

(1)求f(x)的定义域;
(2)判断并证明f(x)的奇偶性.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设f(x)(x∈R)是以3为周期的周期函数,且为奇函数,又f(1)>1,f(2)=a,那么 a的取值范围是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
若函数f(x)=
a•2x-2
1+2x
(a∈R)
是R上的奇函数
(1)求a的值,并利用定义证明函数f(x)在R上单调递增;
(2)解不等式:f(-2)+f(log
1
2
(2x))≥0
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=|x+1|+|x+a|是偶函数,则实数a的值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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