设函数f（x）=3sinx+2cosx+1．若实数a，b，c使得af（x）+bf（x-c）=1对任意实数x恒成立，则bcosca的值为（　　）A．-1B．12C

题型：单选题难度：一般来源：不详

设函数f（x）=3sinx+2cosx+1．若实数a，b，c使得af（x）+bf（x-c）=1对任意实数x恒成立，则

bcosc

a

的值为（　　）

A．-1

B． 1 2

C．1

D．- 1 2

答案

由题设可得f（x）=

13

sin（x+θ）+1，f（x-c）=

13

sin（x+θ-c）+1，其中cosθ=

3

13

，sinθ=

2

13

（0＜θ＜

π

2

），
∴af（x）+bf（x-c）=1可化成

13

asin（x+θ）+

13

bsin（x+θ-c）+a+b=1，
即

13

（a+bcosc）sin（x+θ）-

13

bsinccos（x+θ）+（a+b-1）=0，
由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有

a+bcosc=0① bsinc=0② a+b-1=0③

，
若b=0，则式（1）与式（3）矛盾；
故此b≠0，由（2）式得到：sinc=0，
当cosc=1时，有矛盾，故cosc=-1，
由①③知a=b=

1

2

，
则

bcosc

a

=-1．
故选A