已知函数f(x)=xm-4x,且f(4)=3(1)求m的值;(2)证明f(x)的奇偶性;(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.
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已知函数f(x)=xm-4x,且f(4)=3(1)求m的值;(2)证明f(x)的奇偶性;(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
x
m
-
4
x
,且f(4)=3
(1)求m的值;
(2)证明f(x)的奇偶性;
(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.
答案
(1)∵f(4)=3,∴
4
m
-
4
4
=3
,∴m=1.(2分)
(2)因为
f(x)=x-
4
x
,定义域为{x|x≠0},关于原点成对称区间.(3分)
又
f(-x)=-x-
4
-x
=-(x-
4
x
)=-f(x)
,(5分)
所以f(x)是奇函数.(6分)
(3)设x
1
>x
2
>0,则
f(
x
1
)-f(
x
2
)=
x
1
-
4
x
1
-(
x
2
-
4
x
2
)=(
x
1
-
x
2
)(1+
4
x
1
x
2
)
(9分)
因为x
1
>x
2
>0,所以x
1
-x
2
>0,
1+
4
x
1
x
2
>0
,(11分)
所以f(x
1
)>f(x
2
),因此f(x)在(0,+∞)上为单调增函数.
举一反三
已知函数f(x)=x
2
+bx+c(b,c∈R)为偶函数,如果点A(x,y)在函数f(x)的图象上,且点B(x,y
2
+1)在g(x)=f(x
2
+c)的图象上.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设F(x)=g(x)-λf(x).是否存在实数λ,使F(x)在
(-∞,-
2
2
)
上为减函数,且在
[-
2
2
,0)
上为增函数?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
设f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=log
2
x,则当x<0时,f(x)等于( )
A.-log
2
x
B.log
2
(-x)
C.log
x
2
D.-log
2
(-x)
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
已知数列{a
n
}的前n项为和S
n
,点
(n,
S
n
n
)
在直线
y=
1
2
x+
11
2
上.数列{b
n
}满足b
n+2
-2b
n+1
+b
n
=0(n∈N
*
),且b
3
=11,前9项和为153.
(Ⅰ)求数列{a
n
}、{b
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设
c
n
=
3
(2
a
n
-11)(2
b
n
-1)
,数列{c
n
}的前n和为T
n
,求使不等式
T
n
>
k
57
对一切n∈N
*
都成立的最大正整数k的值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
在平面直角坐标系中,若点A、B同时满足
(1)点A、B都在函数y=f(x)的图象上;
(2)点A、B关于原点对称.则称点对(A,B)是函数y=f(x)的一个“姐妹点对”(规定点对(A,B)与点对(B,A)是同一个“姐妹点对”).若函数f(x)=a
x
-x-a(a>0且a≠1)只有一个“姐妹点对”,则a的取值范围为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设函数f(x)=1-e
-x
,函数
g(x)=
x
ax+1
(其中a∈R,e是自然对数的底数).
(Ⅰ)当a=0时,求函数h(x)=f"(x)•g(x)的极值;
(Ⅱ)若f(x)≤g(x)在[0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)设n∈N
*
,求证:
e
2n-
n
k=1
4
k+1
≤n!≤
e
n(n-1)
2
(其中e是自然对数的底数).
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
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