定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件:①f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数; ②f′(x)是偶函数;③f(x
题型:解答题难度:一般来源:烟台一模
定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件: ①f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数; ②f′(x)是偶函数;③f(x)在x=0处的切线与直线y=x+2垂直. (Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式; (Ⅱ)设g(x)=4lnx-m,若存在x∈[1,e],使g(x)<f′(x),求实数m的取值范围. |
答案
(Ⅰ)f′(x)=3ax2+2bx+c ∵f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数, ∴f′(1)=3a+2b+c=0…①…(1分) 由f′(x)是偶函数得:b=0②…(2分) 又f(x)在x=0处的切线与直线y=x+2垂直,f′(0)=c=-1③…(3分) 由①②③得:a=,b=0,c=-1, 即f(x)=x3-x+3…(4分) (Ⅱ)由已知得: 若存在x∈[1,e],使4lnx-m<x2-1,即存在x∈[1,e],使m>4lnx-x2+1 设h(x)=4lnx-x2+1 m>hmin,对h(x)求导,导数在(0,)大于零,(,e)小于零,即h(x)先递增再递减, 当x=.m取最大值+∞,x=e 时,m取最小值5-e2. ∴实数m的取值范围是(5-e2,+∞). |
举一反三
(一、二级达标校做) 已知函数f(x)=2x+(x∈R,λ∈R). (Ⅰ) 讨论函数的f(x)奇偶性,并说明理由; (Ⅱ)当λ=1时,讨论方程f(x)=μ(μ∈R)在x∈[-1,1]上实数解的个数情况,并说明理由. |
已知奇函数f(x)=在(-1,1)上是增函数,且f()= ①确定函数f(x)的解析式. ②解不等式f(t-1)+f(t)<0. |
已知f(x)=ax3-bx5+cx3+2,且f(-5)=3 则f(5)+f(-5)=______. |
已知定义域为{x|x≠0}的函数f(x)为偶函数,且f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,若f(-3)=0,则<0的解集为( )A.(-3,0)∪(0,3) | B.(-∞,-3) | C.(-∞,-3)∪(3,+∞) | D.(-3,0)∪(3,+∞) |
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函数f(x)为奇函数,且f(x)=+1,x>0,则当x<0,f(x)=( )A.f(x)=-+1 | B.f(x)=--1 | C.f(x)=--1 | D.f(x)=-+1 |
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