(1)g(x)=sinx是R上的“平缓函数,但h(x)=x2-x不是区间R的“平缓函数”; 设φ(x)=x-sinx,则φ"(x)=1-cosx≥0,则φ(x)=x-sinx是实数集R上的增函数, 不妨设x1<x2,则φ(x1)<φ(x2),即x1-sinx1<x2-sinx2, 则sinx2-sinx1<x2-x1,① 又y=x+sinx也是R上的增函数,则x1+sinx1<x2+sinx2, 即sinx2-sinx1>x1-x2,② 由 ①、②得-(x2-x1)<sinx2-sinx1<x2-x1 因此|sinx2-sinx1|<|x2-x1|,对x1<x2的实数都成立, 当x1>x2时,同理有|sinx2-sinx1|<|x2-x1|成立 又当x1=x2时,不等式|sinx2-sinx1|=|x2-x1|=0, 故 对任意的实数x1,x2∈R均 有|sinx2-sinx1|≤|x2-x1| 因此 sinx是R上的“平缓函数. 由于|h(x1)-h(x2)|=|(x1-x2)(x1+x2-1)| 取x1=3,x2=1,则|h(x1)-h(x2)|=4>|x1-x2|, 因此,h(x)=x2-x不是区间R的“平缓函数”. (2)由(1)得:sinx是R上的“平缓函数,则|sinx2-sinx1|≤|x2-x1|,所以|yn+1-yn|≤|xn+1-xn|, 而|xn+1-xn|≤, 所以 |yn+1-yn|≤<=(-) 而|yn+1-y1|=|(yn+1-yn)+(yn-yn-1)+(yn-1-yn-2)+…(y2-y1)| 所以|yn+1-y1|≤|yn+1-yn|+|yn-1-yn-2|+…+|y2-y1|, 则 |yn+1-y1|≤[(-)+(-)+…+(1-)] 因此 |yn+1-y1|≤(1-)<. |