已知函数f（x）=-x3+3x（I）证明：函数f（x）是奇函数；（II）求f（x）的单调区间．
题型：解答题难度：一般来源：朝阳区一模
已知函数f（x）=-x3+3x
（I）证明：函数f（x）是奇函数；
（II）求f（x）的单调区间． |
答案
（I）证明：显然f（x）的定义域是R．设任意x∈R，∵f（-x）=-（-x）3+3（-x）=-（-x3+3x）=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数
（II）∵f′（x）=-3x2+3，
令f′（x）＞0，由-3x2+3＞0，解得-1＜x＜1
由此可知，当-1＜x＜1时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）=-x3+3x的单调增区间是（-1，1）；
当x＜-1或x＞1时，f′（x）＜0，
所以函数f（x）=-x3+3x的单调减区间分别是（-∞，-1），（1，+∞） |
举一反三
| 已知函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的偶函数．当x∈（-∞，0）时，f（x）=x-x4，则当x∈（0，+∞）时，f（x）=______． |
函数f（x）=lg（1+x2），g（x）= | | x+2 (x＜-1) | | 0 (|x|≤1) | | -x+2 (x＞1) |
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，h（x）=tan2x中，______是奇函数，______是偶函数． |
| 若f（x）是奇函数，在x＞0时f（x）=sin2x+cosx，则x＜0时f（x）的解析式是______，f′（-）=______． |
下列函数在x=0处连续的是（ ）| A．f（x）= | B．f（x）=lnx | | C．f（x）= | D．f（x）= |
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函数f（x）=ax3+（a-1）x2+48（b-3）x+b的图象关于原点中心对称，则f（x）（ ）| A．在[-4，4]上为增函数 | | B．在[-4，4]上为减函数 | | C．[4，+∞）上为增函数，在（-∞，-4]上为减函数 | | D．在（-∞，-4]上为增函数，在[4，+∞）上也为增函数 |
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