已知函数f（x）=x2+|x-a|-1（1）求能使f（x）成为偶函数的a的值，并写出此时函数的单调递增区间；（2）求a=2时函数f（x）的最小值．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x²+|x-a|-1
（1）求能使f（x）成为偶函数的a的值，并写出此时函数的单调递增区间；
（2）求a=2时函数f（x）的最小值．

答案

（1）当a=0时，f（-x）=x²+|x|+1=f（x），此时f（x）为偶函数；当a≠0时，f（a）=a²+1，f（-a）=a²+2|a|+1，f（-a）≠f（a），且f（-a）≠-f（a），此时函数f（x）无奇偶性，
∴能使f（x）成为偶函数的a的值为0，此时，f（x）=x²+|x|-1=

x2+x-1，x≥0 x2-x-1，x＜0

函数的图象如图所示，∴函数的单调增区间是[0，+∞）；
（2）a=2时，f（x）=

x2+x-3，x≥2 x2-x+1，x＜2

当x＜2时，f（x）≥

3

4

；当x≥2时，f（x）≥3，
∴函数的最小值为

3

4

．