设函数f(x)是定义在x∈[-1,1]上的偶函数,函数g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称,且当x∈[2,3]时,g(x)=2a(x-2)-4(x-
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)是定义在x∈[-1,1]上的偶函数,函数g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称,且当x∈[2,3]时,g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3 ①求f(x)的解析式; ②是否存在正整数a,使f(x)的最大值为12?若存在求出a的值,若不存在说明理由. |
答案
(1)设f(x)的图象上任意点(x,f(x)), 它关于直线x=1的对称点(2-x,f(x))在g(x)的图象上, 当x∈[-1,0]时,2-x∈[2,3],且g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3, ∴f(x)=g(2-x)=-2ax+4x3, 当x∈(0,1]时,-x∈[-1,0),∴f(-x)=2ax-4x3, 又∵f(x)是定义在x∈[-1,1]上的偶函数, ∴f(x)=2ax-4x3, 则f(x)= | -2ax+4x3 (-1≤x≤0) | 2ax-4x3 (0<x≤1) |
| | , (2)假设存在正整数a,使函数f(x)的最大值为12, 又f(x)为偶函数,故只需研究函数f(x)=2ax-4x3在x∈(0,1]的最大值 令f′(x)=2a-12x2=0,得x=(a>0), 若时: 单调递增, 单调递减, 则 | [f(x)]max=f()=2a×-4()3<2a×≤12 |
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故此时不存在符合题意的a, 若时,f′(x)>0在(0,1]上恒成立, 则f(x)在(0,1]上单调递增, ∴, 令2a-4=12,得a=8, 综上,存在a=8满足题意. |
举一反三
已知f(x)为偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则f(x)<0的解集是______. |
已知奇函数f(x)的定义域是{x|x∈R,且x≠0},当x<0时,f(x)=xlg(2-x),求x>0时,f(x)的解析式. |
偶函数f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且f(0)•f(a)<0,则方程f(x)=0在区间[-a,a]内根的个数是( ) |
已知函数f(x)=x2+(a-3)x+a2-3a(a为常数). (1)如果对任意x∈[1,2],f(x)>a2恒成立,求实数a的取值范围; (2)设实数p,q,r满足:p,q,r中的某一个数恰好等于a,且另两个恰为方程f(x)=0的两实根,判断①p+q+r,②p2+q2+r2,③p3+q3+r3是否为定值?若是定值请求出:若不是定值,请把不是定值的表示为函数g(a),并求g(a)的最小值; (3)对于(2)中的g(a),设H(a)=-[g(a)-27],数列{an}满足an+1=H(an)(n∈N*),且a1∈(0,1),试判断an+1与an的大小,并证明之. |
若函数y=f(x)是奇函数且f(-1)=2,则f(1)=______. |
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