(1)∵f(x)>a2,∴x2+(a-3)x-3a>0, ∴(x-3)(x+a)>0对x∈[1,2]恒成立, 又∵x-3<0恒成立,∴x+a<0对x∈[1,2]恒成立, ∴a<-x,又-x∈[-2,-1], ∴a<-2. (2)由△=(a-3)2-4(a2-3a)≥0得:-1≤a≤3, 不妨设a=p,则q,r恰为方程两根,由韦达定理得: ①p+q+r=3,qr=a2-3a, ②p2+q2+r2=a2+(q+r)2-2pr=a2+(3-a)2-2(a2-3a)=9, ③p3+q3+r3=a3+(q3+r3)=a3+(q+r)[q2-qr+r2]=3a3-9a2+27. 设g(a)=3a3-9a2+27,求导得:g(a)=9a2-18a=9a(a-2), 当a∈[2,3]时,g(a)>0,g(a)递增;当a∈[0,2]时,g(a)<0,g(a)递减; 当a∈[-1,0]时,g(a)>0,g(a)递增, ∴g(a)在[-1,3]上的最小值为min{g(-1),g(2)}=min{15,15}=15. (3)由(2)得H(a)=-(3a3-9a2), 如果a∈(0,1),则H′(a)=3a-a2=3a(1-a)>0,∴H(a)在(0,1)为递增函数, 易知H(a)∈(0,1),∴a1∈(0,1)⇒a2∈(0,1),an∈(0,1)⇒an+1∈(0,1), 又∵an+1-an=-an3+an2-an=-an(an-2)(an-1)<0, ∴an+1<an. |