f(x)的定义域为R,若存在常数M>0,使|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立,则称f(x)为F函数.现给出下列函数:①f(x)=2x;②f(x)=x2+1
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f(x)的定义域为R,若存在常数M>0,使|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立,则称f(x)为F函数.现给出下列函数:①f(x)=2x;②f(x)=x2+1
题型:填空题
难度:一般
来源:不详
f(x)的定义域为R,若存在常数M>0,使|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立,则称f(x)为F函数.现给出下列函数:
①f(x)=2x;
②f(x)=x
2
+1;
③
f(x)=
2
(sinx+cosx)
;
④
f(x)=
x
x
2
-x+1
;
⑤f(x)是定义在实数集R上的奇函数,且对一切x
1
,x
2
均有|f(x
1
)-f(x
2
)|≤2|x
1
-x
2
|.
其中是F函数的函数有______.
答案
对于①,f(x)=2x,易知存在M=2>0,使|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立,符合题意;
对于④,因为|f(x)|=
|x|
x
2
-x+1
=
|x|
(x-
1
2
)
2
+
3
4
≤
4
3
|x|,所以存在常数M=
4
3
>0,使|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立,④是F函数;
对于⑤,f(x)是定义在实数集R上的奇函数,故|f(x)|是偶函数,因而由|f(x
1
)-f(x
2
)|≤2|x
1
-x
2
|得到,
|f(x)|≤2|x|成立,存在M≥2>0,使|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立,符合题意.
而对②、③用F函数的定义不难发现:因为x→0时,|
f(x)
x
|→∞,所以不存在常数M>0,使|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立,它们是不符合题意的
故答案为:①④⑤
举一反三
已知函数f(x)=x
2
+|x-a|-1
(1)求能使f(x)成为偶函数的a的值,并写出此时函数的单调递增区间;
(2)求a=2时函数f(x)的最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
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设直线l:y=g(x),曲线S:y=F(x).若直线l与曲线S同时满足下列两个条件:①直线l与曲线S相切且至少有两个切点;②对任意x∈R都有g(x)≥F(x).则称直线l为曲线S的“上夹线”.
(Ⅰ)已知函数f(x)=x-2sinx.求证:y=x+2为曲线f(x)的“上夹线”.
(Ⅱ)观察下图:
根据上图,试推测曲线S:y=mx-nsinx(n>0)的“上夹线”的方程,并给出证明.
题型:解答题
难度:一般
|
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下列函数是偶函数且在区间(0,1)上是增函数的是( )
A.y=cosx
B.y=|x+1|
C.y=
ln
2+x
2-x
D.y=e
x
+e
-x
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数f(x)是R上的偶函数,且f(1-x)=f(1+x),当x∈[0,1]时,f(x)=x
2
,则函数y=f(x)-log
5
x在区间[0,5]的零点个数是( )
A.3
B.4
C.5
D.6
题型:单选题
难度:简单
|
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已知f(x)是定义在R上的且以2为周期的偶函数,当0≤x≤1时,f(x)=x
2
,如果直线y=x+a与曲线y=f(x)恰有两个不同的交点,则实数a的值为( )
A.2k(k∈Z)
B.2k或2k+
1
4
(k∈Z)
C.0
D.2k或2k-
1
4
(k∈Z)
题型:单选题
难度:一般
|
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