(1)由已知条件得,=(1,1),=-,∴=(1,2), ∵=(1,1),∴-=(1, 1) 设=(xn,yn),则xn+1-xn=1,yn+1-yn=1 ∴xn=0+(n-1)•1=n-1;yn=1+(n-1)•1=n. 即An=(n-1,n)满足方程y=x+1,∴点An在直线y=x+1上. (2)由(1)得An(n-1,n),=-=(3•() n,0), 设Bn(un,vn),则u1=3,v1=0,vn+1-vn=0,∴vn=0, un+1-un=3•()n,逐差累和得,un=9(1-()n), ∴Bn(9(1-()n),0). 设直线y=x+1与x轴的交点P(-1,0),则an=S△PAn+1Bn+1-S△PAnBn=[10-9()n+1](n+1)-[10-9()n]nan=5+(n-2)()n-1,n∈N*. (3)由(2)an=5+(n-2)()n-1,n∈N* an+1-an=[5+(n-1)()n]-[5+(n-2)()n-1]=()n-1, 于是,a1<a2<a3<a4=a5,a5>a6>a7>… 数列{an}中项的最大值为a4=a5=5+,则P>5,即最小的正整数p的值为6, 所以,存在最小的自然数p=6,对一切n∈N*都有an<p成立. |