已知f(x)=ax2+x-a,a∈R.(1)若不等式f(x)>(a-1)x2+(2a+1)x-3a-1对任意实数x∈[-1,1]恒成立,求实数a的取值范围;(2
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)=ax2+x-a,a∈R. (1)若不等式f(x)>(a-1)x2+(2a+1)x-3a-1对任意实数x∈[-1,1]恒成立,求实数a的取值范围; (2)若a<0,解不等式f(x)>1. |
答案
(1)原不等式等价于x2-2ax+2a+1>0对任意的实数x∈[-1,1]恒成立, 设g(x)=x2-2ax+2a+1=(x-a)2-a2+2a+1 ①当a<-1时,gmin(x)=g(-1)=1+2a+2a+1>0,得a∈Φ; ②当-1≤a≤1时,gmin(x)=g(a)=-a2+2a+1>0,得-1-<a≤1; ③当a>1时,gmin(x)=g(1)=1-2a+2a+1>0,得a>1; 综上a>1- (3)不等式f(x)>1即为ax2+x-a-1>0,即(x-1)(ax+a+1)>0 因为a<0,所以(x-1)(x+)<0,因为 1-(-)= 所以当-<a<0时,1<-,解集为{x|1<x<-}; 当a=-时,(x-1)2<0,解集为ϕ; 当a<-时,1>-,解集为{x|-<x<1} |
举一反三
若实数a满足a>|t-1|-|t-2|(t∈R)恒成立,则函数f(x)=loga(x2-5x+6)的单调减区间为______. |
已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为( ) |
已知奇函数f(x)满足f(-1)=f(3)=0,在区间[-2,0]上是减函数,在区间[2,+∞)是增函数,函数F(x)=,则{x|F(x)>0}=( )A.{x|x<-3,或0<x<2,或x>3} | B.{x|x<-3,或-1<x<0,或0<x<1,或x>3} | C.{x|-3<x<-1,或1<x<3} | D.{x|x<-3,或0<x<1,或1<x<2,或2<x<3} |
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已知函数f(x)=,若函数y=f(x+)+n为奇函数,则实数n为( ) |
已知真命题:“函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f(x+a)-b 是奇函数”. (1)将函数g(x)=x3-3x2的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图象对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数g(x)图象对称中心的坐标; (2)求函数h(x)=log2图象对称中心的坐标. |
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