若对一切非零实数,已知函数y=f(x)(x≠0),满足f(xy)=f(x)+f(y),(1)求f(1),f(-1),(2)判断函数y=f(x)的奇偶性;(3)若
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若对一切非零实数,已知函数y=f(x)(x≠0),满足f(xy)=f(x)+f(y),(1)求f(1),f(-1),(2)判断函数y=f(x)的奇偶性;(3)若
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
若对一切非零实数,已知函数y=f(x)(x≠0),满足f(xy)=f(x)+f(y),
(1)求f(1),f(-1),
(2)判断函数y=f(x)的奇偶性;
(3)若y=f(x),在(0,+∞)上是增函数,且满足
y=f(x)+f(x-
1
2
)≤0
,求x的取值范围.
答案
(1)∵函数y=f(x)(x≠0),满足f(xy)=f(x)+f(y),
∴令x=y=1得:f(1)=2f(1),故f(1)=0;
再令x=y=-1得:f(1)=2f(-1)=0,故f(-1)=0;
(2)令y=-1,则f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)
故f(x)是偶函数;
(3)∵f(x)+f(x-
1
2
)=f[x(x-
1
2
)]≤0,偶函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(-1)=f(1)=0,
∴|x(x-
1
2
)|≤1,
∴-1≤x(x-
1
2
)≤1,
∴
2x
2
-x+2≥0①
2x
2
-x-2≤0②
,①的解集为R,
解②得
1-
17
4
≤x≤
1+
17
4
,又x≠0.
∴x的取值范围为:[
1-
17
4
,0)∪(0,
1+
17
4
].
举一反三
已知f(x)=
10
x
-
10
-x
10
x
+
10
-x,
,证明f(x)在R上是奇函数.
题型:解答题
难度:一般
|
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给定函数:
①y=x
2
+x
6
(x∈R)
②y=|x-1|(x∈R)
③
y=1-
x
2
+1
(x∈R)
④y=|x-1|+|x+1|(x∈R)
⑤
y=
[
3]
x
5
(x∈R)
⑥y=0(x∈R).
在上述函数中为偶函数但不是奇函数的是( )
A.①②③④
B.①③
C.①③④
D.①③④⑥
题型:单选题
难度:一般
|
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若奇函数f(x)=ka
x
-a
-x
(a>0且a≠1)在R上是增函数,那么的g(x)=log
a
(x+k)大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:一般
|
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下列函数中为偶函数的是( )
A.
y=
x
B.y=-x
C.y=x
2
D.y=x
3
+1
题型:单选题
难度:一般
|
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下列函数中周期为π且为偶函数的是( )
A.
y=sin(2x-
π
2
)
B.
y=cos(2x-
π
2
)
C.
y=sin(x+
π
2
)
D.
y=cos(x+
π
2
)
题型:单选题
难度:简单
|
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