已知定义域为R的函数是奇函数． （1）求a的值； （2）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明你的结论． （3）是否存在实数k，对于任意t∈1，2]，不等式f（

题型：解答题难度：一般来源：湖南省月考题

已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明你的结论．
（3）是否存在实数k，对于任意t∈1，2]，不等式f（t²﹣2t）+f（2t²﹣k）＞0恒成立，若存在，求出实数k的取值范围，若不存在，说明理由。

答案

解：（1 ） 因为f（x）为R上的奇函数，
 所以f（0）=0 。
 ∴， 。
（2）f（x）是R上的减函数．理由如下：
任取x₁，x₂∈R，且，则
，
∵x₁＜x₂， 
 ∴， 。
 ∴，
即f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）是R上的减函数。
（3）若不等式f（t²﹣2t）+f（2t²﹣k）＞0恒成立， 
则f（t²﹣2t）＞﹣f（2t²﹣k） 。
 又f（x）是R上的奇函数，所以f（t²﹣2t）＞f（k﹣2t²）。
又f（x）是R上的减函数，所以t²﹣2t＜k﹣2t²对t∈[1，2]恒成立 。
 即3t²﹣2t＜k对t∈[1，2]恒成立。 
 方法一：∴k＞（3t²﹣2t）_max，t∈[1，2] ，
设时，g（t）是t的增函数 ，
所以g（t）_max=g（2）=8，所以k＞8 。
方法二：g（t）=3t²﹣2t﹣k，要使3t²﹣2t﹣k＜0对t∈[1，2]恒成立 , 
 只需即可所以 ，
所以k＞8 。
综上：存在实数k∈（8，+∞）时，对于任意t∈[1，2] 。