已知定义在（﹣1，1）上的函数f（x），满足，并且x，y∈（﹣1，1）都有成立，对于数列{xn}，有．（Ⅰ）求f（0），并证明f（x）为奇函数；（Ⅱ）求数列{f

题型：解答题难度：困难来源：北京期末题

已知定义在（﹣1，1）上的函数f（x），满足，并且x，y∈（﹣1，1）都有成立，对于数列{x_n}，有．
（Ⅰ）求f（0），并证明f（x）为奇函数；
（Ⅱ）求数列{f（x_n）}的通项公式；
（Ⅲ）对于(II）中的数列{f（x_n）}，
证明：（n∈N*）．

答案

解：（1）当x=y=0时，f（0）=0，再令x=0
得f（0）﹣f（y）=f（﹣y）
即f（y）+f（﹣y）=0
∴f（x）在（﹣1，1）上为奇函数．
（2）由易知0＜x_n＜1
∵f（x_n）﹣f（﹣x_n）=f
且f（x）且f（x）在（﹣1，1）上为奇函数
∴f（x_n+1）=2f（x_n），f（x₁）=1
∴f（x_n）是以1为首项，2为公比的等比数列
∴f（x_n）=2^n﹣1
（3）
=