解:(1)∵函数g(x)的定义域为R, 且g(-x)=f(-x)-f(x)+![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819020342-33294.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819020343-34384.gif) ∴函数g(x)是奇函数。 (2)g"(x)=![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819020343-54902.gif)
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![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819020343-24095.gif) 当a=1时,g"(x)=e-x(ex-1)2≥0当且仅当x=0时等号成立, 故 g(x)在R上递增; 当0<a<1时, , 令g"(x)>0得 或ex<a, 故g(x)的单调递增区间为(-∞,lna)或(-lna,+∞); 当a>1时, ,令g"(x)>0得ex>a或![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819020344-23404.gif) 故g(x)的单调递增区间为(-∞,-lna)或(lna,+∞)。 (3)不妨设x1>x2,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819020344-76240.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819020344-66903.gif) 令 ,则只需证![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819020345-33057.gif) 先证 ,由(2)知 在R上递增, ∴当x>0时,g(x)>g(0)=0, ∴ ,从而由x>0知 成立; 再证 ,即证![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190819/20190819020346-22592.gif) 令 ,则
是减函数, ∴当x>0时,h(x)<h(0)=0, 从而 成立 综上,对任意实数x1和x2,且x1≠x2,都有不等式
成立。 |